离散数学(1) | 5 | 罗素公理系统

文章同步于@c.w.-知乎，个人博客

---

本文及其系列文章用于离散数学（1）科目的期末考试复习

一般公理系统的结构

通常而言，一个公理系统一般包括如下几部分：

1. 初始符号：公理所允许出现的全体符号的集合。

2. 形成规则：由出事符号可以组成各种符号序列。

3. 公理：选出几个最基本的重言式作为推演其他所有重言式的依据。

4. 变形规则：变形规则就是公理系统所规定的推理规则。

5. 建立定理：这是公理系统内做演算的主要内容，应该包括所有的重言式和对它们的证明。

罗素系统

初始符号

• \(A,B,C……\)，大写英文字母（表示命题）

• \(\neg , \lor\)表示联结词

• （ ），表示圆括号

• \(\vdash\)，写在一个公式之前表示其为重言式

形成规则

符号形成规则的符号序列成为合式公式。

1. 符号\(\pi\)是合式公式（\(\pi\)取值为\(A,B……\)）

2. 如果\(A,B\)是合式公式，那么\(A\lor B\)也是合式公式

3. 如果\(A\)是合式公式，那么\(\neg A\)也是合式公式

4. 只有符合1,2,3的符号序列才是合适公式

定义

除了由形成规则构成的合式公式之外，还可以通过定义来引入新的合式公式，这样引入的合式公式有着缩写和简化表达的作用。

• 定义1 \(A\rightarrow B\)定义为\(\neg A\lor B\)

• 定义2 \(A\land B\)定义为\(\neg(\neg A\lor\neg B)\)

• 定义3 \(A\leftrightarrow B\)定义为\((A\rightarrow B)\land(B\rightarrow A)\)

或者换句话说，罗素公理系统中只有“非”和“或”两种逻辑，其余逻辑都要求用“非”和“或”来表示。并且注意，上述定义中的顺序关系是严格的。

公理⭐️

• 公理1 \(\vdash (P\lor P)\rightarrow P\)

• 公理2 \(\vdash P\rightarrow (P\lor Q)\)

• 公理3 \(\vdash (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)\)

• 公理4 \(\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\lor Q)\rightarrow (P\lor R))\)

注意，只有这些公理才能够直接运用在罗素公理系统的推导过程中！我们其余所知道的所有公式定理都不能够直接在罗素公理系统中用，包括交换律、结合律、互反律、摩根律等等等等。

变形规则⭐️

1. 代入规则：将合式公式\(A\)中出现的某一个符号\(\pi\)到处都带一某一个合适的公式\(B\)，从而得到合式公式\(A\frac{\pi}{B}\)叫代入。带入规则说，如果\(\vdash A\),则\(\vdash A\frac{\pi}{B}\)

2. 分离规则：如果\(\vdash A , \vdash A\rightarrow B\),那么\(\vdash B\)

3. 置换规则：定义的左右两方可以互相替换。设公式\(A\)，替换后为公式\(B\)。置换规则说，如果\(\vdash A\)则\(\vdash B\)

定理的推演

定理1：\(\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R))\)

证明：\(\\\\(1)\vdash(Q\rightarrow R)\rightarrow((P\lor Q)\rightarrow(P\lor R)) (公理4)\\\\(2)\vdash(Q\rightarrow R)\rightarrow((\neg P\lor Q)\rightarrow(\neg P\lor R)) (1.带入\frac{P}{\neg P})\\\\(3)\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)) (2.用定义1)\)

定理2：\(\vdash P\rightarrow P\)

证明:\(\\\\(1)\vdash P\rightarrow P\lor Q (公理2)\\\\(2)\vdash P\rightarrow P\lor P (1.带入\frac{Q}{P})\\\\(3)\vdash P\lor P\rightarrow P (公理1)\\\\(4)\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)) (定理1)\\\\(5)\vdash (P\lor P\rightarrow P)\rightarrow((P\rightarrow P\lor P)\rightarrow(P\rightarrow P))(4.带入\frac{Q}{P\lor P},\frac{R}{P})\\\\(6)\vdash (P\rightarrow P\lor P)\rightarrow(P\rightarrow P)(3.5.分离)\\\\(7)\vdash P\rightarrow P(2.6.分离)\)

定理3：\(\vdash \neg P\lor P\)

证明：\(\\\\(1)\vdash P\rightarrow P(定理2)\\\\(2)\vdash\neg P\lor P(1.用定义1)\)

定理4：\(\vdash P\lor\neg P\)

证明：\(\\\\(1)\vdash P\lor Q\rightarrow Q\lor P(公理3)\\\\(2)\vdash \neg P\lor P\rightarrow P\lor \neg P(1.带入\frac{P}{\neg P},\frac{Q}{P})\\\\(3)\vdash \neg P\lor P(定理3)\\\\(4)\vdash P\lor \neg P(2.3.分离)\)

定理5：\(\vdash P\rightarrow \neg\neg P\)

证明：\(\\\\(1)\vdash P\lor\neg P(定理4)\\\\(2)\vdash\neg P\lor \neg\neg P(1.带入\frac{P}{\neg P})\\\\(3)\vdash P\rightarrow \neg\neg P(2.用定义1)\)

定理6：\(\vdash \neg\neg P\rightarrow P\)

证明：\(\\\\(1)\vdash P\rightarrow \neg\neg P(定理5)\\\\(2)\vdash \neg P\rightarrow \neg\neg\neg P(1.带入\frac{P}{\neg P})\\\\(3)\vdash(Q\rightarrow R)\rightarrow((P\lor Q)\rightarrow (P\lor R))(公理4)\\\\(4)\vdash(\neg P\rightarrow \neg\neg\neg P)\rightarrow((P\lor \neg P)\rightarrow (P\lor \neg\neg\neg P))(3.带入\frac{Q}{\neg P},\frac{R}{\neg\neg\neg P})\\\\(5)\vdash(P\lor \neg P)\rightarrow (P\lor \neg\neg\neg P)(2.4.分离)\\\\(6)\vdash P\lor \neg P(定理4)\\\\(7)\vdash P\lor \neg\neg\neg P(5.6.分离)\\\\(8)\vdash (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)(公理3)\\\\(9)\vdash (P\lor \neg\neg\neg P)\rightarrow (\neg\neg\neg P\lor P)(8.带入\frac{Q}{\neg\neg\neg P})\\\\(10)\vdash \neg\neg\neg P\lor P(7.9.分离)\\\\(11)\vdash\neg\neg P\rightarrow P(10.用定义1)\)

定理7：\(\vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg Q\rightarrow \neg P)\)

证明：\(\\\\(1)\vdash P\rightarrow \neg\neg P(定理5)\\\\(2)\vdash Q\rightarrow \neg\neg Q(1.带入\frac{P}{Q})\\\\(3)\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\lor Q)\rightarrow (P\lor R))(公理4)\\\\(4)\vdash (Q\rightarrow \neg\neg Q)\rightarrow((\neg P\lor Q)\rightarrow (\neg P\lor \neg\neg Q))(3.带入\frac{R}{\neg\neg Q},\frac{P}{\neg P})\\\\(5)\vdash (\neg P\lor Q)\rightarrow (\neg P\lor \neg\neg Q)(2.4.分离)\\\\(6)\vdash (P\lor Q)\rightarrow (Q\lor P)(公理3)\\\\(7)\vdash (\neg P\lor \neg\neg Q)\rightarrow (\neg\neg Q\lor \neg P)(6.带入\frac{P}{\neg P},\frac{Q}{\neg\neg Q})\\\\(8)\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R))(定理1)\\\\(9)\vdash (\neg P\lor \neg\neg Q\rightarrow \neg\neg Q\lor \neg P)\rightarrow((\neg P\lor Q\rightarrow \neg P\lor \neg\neg Q)\rightarrow(\neg P\lor Q\rightarrow \neg\neg Q\lor \neg P))(8.带入\frac{P}{\neg P\lor Q},\frac{Q}{\neg P\lor \neg\neg Q},\frac{R}{\neg\neg Q\lor \neg P})\\\\(10)\vdash (\neg P\lor Q\rightarrow \neg P\lor \neg\neg Q)\rightarrow(\neg P\lor Q\rightarrow \neg\neg Q\lor \neg P)(7.9.分离)\\\\(11)\vdash \neg P\lor Q\rightarrow \neg\neg Q\lor \neg P(5.10.分离)\\\\(12)\vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg Q\rightarrow \neg P)(11.用定义1)\)

常见做题套路

三段论的实现:\(\\\\(1)\vdash A\rightarrow B(前提)\\\\(2)\vdash B\rightarrow C(前提)\\\\(3)\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow((P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R))(定理1)\\\\(4)\vdash (B\rightarrow C)\rightarrow((A\rightarrow B)\rightarrow(A\rightarrow C))(3.带入\frac{P}{A},\frac{Q}{B},\frac{R}{C})\\\\(5)\vdash (A\rightarrow B)\rightarrow(A\rightarrow C)(2.4.分离)\\\\(6)\vdash A\rightarrow C(1.5.分离)\)