离散数学(1) | 2 | 命题逻辑的等值和推理演算

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本文及其系列文章用于离散数学（1）科目的期末考试复习

等值的定义

给定两个命题公式\(A,B\)，以及在\(A,B\)中出现的所有命题变相\(P_1,P_2,……,P_n\)，那么公式\(A,B\)一共有\(2^n\)种解释。如果在所有的解释下有\(A\)和\(B\)的真值都相等，那么称\(A\)和\(B\)等值,记做\(A=B\)

• 等值定理指的是，\(A=B\)的充要条件是\(A\leftrightarrow B\)是重言式

等值公式

这部分极其重要。

转换公式

• \(P\rightarrow Q=\neg P\lor Q\) ⭐️⭐️
• \(P\leftrightarrow Q=(P\land Q)\lor(\neg P\land\neg Q)=(P\lor\neg Q)\land(\neg P\lor Q)\) ⭐️

一般认为，在进行公式的转化和计算的时候，我们会把所有的蕴含和双蕴含转化为我们熟悉的与或非，这样计算会比较简单。

双重否定律

• \(\neg\neg P=P\)

结合律

• \((P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R)\)
• \((P\land Q)\land R=P\land(Q\land R)\)
• \((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R=P\leftrightarrow(Q\leftrightarrow R)\)
• \((P\rightarrow Q)\rightarrow R\not=P\rightarrow(Q\rightarrow R)\) ⚠️

交换律

• \(P\lor Q=Q\lor P\)
• \(P\land Q=Q\land P\)
• \(P\leftrightarrow Q=Q\leftrightarrow P\)
• \(P\rightarrow Q\not =Q\rightarrow P\) ⚠️

分配律

• \(P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R)\)⭐️
• \(P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R)\)⭐️
• \(P\rightarrow(Q\rightarrow R)=(P\rightarrow Q)\rightarrow(P\rightarrow R)\)
• \(P\leftrightarrow(Q\leftrightarrow R)\not=(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow(P\leftrightarrow R)\) ⚠️

摩根律

• \(\neg(P\lor Q)=\neg P\land\neg Q\) ⭐️⭐️
• \(\neg(P\land Q)=\neg P\lor\neg Q\) ⭐️⭐️

其他常用公式

• \(\neg P\rightarrow Q=\neg Q\rightarrow P\) ⭐️
• \(P\rightarrow(Q\rightarrow R)=(P\land Q)\rightarrow R\)
• \((P\rightarrow R)\land(Q\rightarrow R)=(P\lor Q)\rightarrow R\)

置换和置换规则

对于公式\(A\)的子公式，用与之等值的公式代换称之为置换。

• 置换规则指的是，公式\(A\)的子公式被置换后变成了公式\(B\)，那么有\(A=B\)

注意，置换和代入是有区别的。置换只要求对\(A\)的某一个子公式做代换，不强制要求对所有同一的子公式都做代换。

等值演算

指由已知等式出发推导出其余等式的过程，一般认为有真值表法和等值公式推导两种方法。

一般认为，除非试题特殊说明，我们都用等值公式推导这种方式。这部分需要多加练习，因为这是以后所有知识的基础。

例：求证\((\neg P\land (\neg Q\land R))\lor (Q\land R)\lor(P\land R)=R\)

证明:\(LHS\\\\=(\neg P\land (\neg Q\land R))\lor((Q\lor P)\land R)\\\\=((\neg P\land \neg Q)\land R)\lor((Q\lor P)\land R)\\\\=(\neg (P\lor Q)\land R)\lor((Q\lor P)\land R)\\\\=(\neg (P\lor Q)\lor (Q\lor P))\lor R\\\\=(\neg (P\lor Q)\lor (P\lor Q))\lor R\\\\=True\land R\\\\=R\\\\=RHS\)

一般我们认为，到后面熟练之后，不需要写出每步运用了什么定理，也不需要每一步只用一个定理。以及可以把一些显而易见的步骤跳过节省时间。