二项式反演 + 生成函数

生成函数

简单来说，一个生成函数对应的也就是一个多项式。

生成函数就是附加到多项式的系数上的数列。也就是说，这个数列上的每一个数对应着多项式的一个系数。

其实就是形如 \(f(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n\)。

这个东西可能可以化简并求和。

举个例子：

假设 \(n\) 为一个定值，那么 \((x+1)^n\) 就是组合数 \(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2},\dots,\binom{n}{n}\) 的生成函数。

生成函数的序列长度长度不一定是有限的，也有可能是无限的。

那么长度为无限的生成函数对应的序列长度也就是无限的，但也有可能可以化简求值。

依然举个例子：

对于数列 \(1,1,\dots,1,\dots\)（这里为无限的长度）的生成函数为：

\(1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots = \frac{1}{1-x}\)

基本运算

两个函数的线性组合对应于两个序列的线性组合。

对于下面式子，也就是两个多项式分别乘上了一个常数（\(a,b\)），那么最后的答案也就是 两个多项式的系数（\(f_i,g_i\)）分别乘上那个常数并相加，还要带上 \(x^i\)。

\[aF(x) + bG(x) = \sum_i (af_i+bg_i)x^i \]

那么对于一个生成函数 \(F(x)\) 乘以 \(x^m\) 就相当于右移 \(f(x)\ m\) 项。

\[x^mF(x) = \sum_i f_{i-m}x^i \]

函数的乘积对应序列的卷积：

\[F(x)G(x) = \sum_i (\sum_j f_jg_{i-j})x^i \]

序列的前缀和：

\[\frac{1}{1-x}F(x) = \sum_i(\sum_{j \le i} f_j) x^i \]

函数求导与积分

\((x^n)' = nx^{n-1} \ (n \in R)\)

\(\ln' x = \frac{1}{x}\)

积分在简单来说就是求导的逆运算。

函数求导运算

求导是具有线性的： \(a,b\) 为常数， \(f,g\) 为关于 \(x\) 的函数，则 \((af+bg)' = af'+bg'\)。

加法与乘法显然是满足交换律的。

乘法法则：\(f,g\) 为关于 \(x\) 的函数，\((f \times g)' = f \times g' + f' \times g\)。

除法法则：\(f,g\) 为关于 \(x\) 的函数，\((f \div g)' = \frac{f' \times g - f \times g'}{g^2}\)。

复合函数求导法则：

若 \(f\) 为关于 \(g\) 的函数，且 \(g\) 是关于 \(x\) 的函数，则 \(f\) 对 \(x\) 求导为：

\[\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} \]

依旧举例子：

\(f(x)=\frac{1}{(1-x)^n}\) 对 \(x\) 求导：

\[\begin{gather*} g(x) = 1 - x, \quad f = g^{-n} \\ \frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = (-n)g^{-(n+1)} \cdot (-1) = \frac{n}{(1-x)^{n+1}} \end{gather*} \]

进阶运算

变量代换：

\[F(ax) = \sum_i a^if_ix^i \]

微分：

\[\begin{split} & F'(x) = \sum_i(i+1)f_{i+1}x^i \\ & xF'(x) = \sum_i if_ix^i \end{split} \]

积分：

\[\int F(x)dx = \sum_{i \ge 1} \frac{f_{i-1}}{i}x^i \]

二项式反演

反演的本质

一句话概括：矩阵求逆。

假设在 \(f(n) = \sum_\limits{i=0}^{n} a_{n,i} g(i)\) 中， \(a_{n,i}\) 是已知的。

我们就想要得到 \(g(n) = \sum\limits_{i=0}^n b_{n,i} f(i)\) 的形式并解出 \(b_{n,i}\)。

把上面两个式子写成矩阵的形式可以发现，\(A, B\)两个矩阵是可逆的。

下面有