KMP

1. 基础定义

在 KMP 算法中，通常约定字符串下标从 1 开始，这在逻辑处理上比 0 下标更方便。

• 子串：字符串 \(S\) 中从 \(i\) 到 \(j\) 这一段顺次排列形成的字符串，记作 \(S[i..j]\)。
• 子序列：从 \(S\) 中提取若干元素且不改变相对位置形成的序列。
• 真前缀：指除了 \(S\) 本身之外的所有前缀。
• 真后缀：指除了 \(S\) 本身之外的所有后缀。
• Border：若字符串 \(S\) 的一个真前缀等于其真后缀，则称该前缀为 \(S\) 的一个 Border。

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2. 前缀函数 \(\pi[i]\)

2.1 定义

对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，其前缀函数 \(\pi[i]\) 定义为：子串 \(s[1...i]\) 中最长的相等的真前缀与真后缀的长度。

• 若不存在相等的真前缀与真后缀，则 \(\pi[i] = 0\)。
• 特别规定 \(\pi[1] = 0\)。
• 数学描述：\(\pi[i] = \max_{k=1}^{i-1}\{k : s[1...k] = s[i-k+1...i]\}\)。

2.2 高效算法实现 (C++)

根据相邻前缀函数值至多增加 1 的性质，以及失配时通过 \(\pi\) 数组回溯的原理，可以得到 \(O(n)\) 的实现。

// s 以 1 下标开始，s[0] 可存放占位符
vector<int> prefix_function(string s) {
	int n = (int)s.length() - 1; 
	vector<int> pi(n + 5);
	// pi[1] 默认为 0
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int j = pi[i - 1];
		// 如果当前位置不匹配，跳转到上一个可能的 Border 长度
		while (j > 0 && s[i] != s[j + 1]) j = pi[j]; 
		// 如果匹配成功，Border 长度加 1
		if (s[i] == s[j + 1]) j++; 
		pi[i] = j;
	}
	return pi;
}

3. KMP 算法的核心应用

3.1 字符串匹配

核心思想：构造新串 \(S' = S + \# + T\)。

• 分隔符 \(\#\) 必须是两串中均未出现过的字符，确保匹配长度不会跨越分隔符。
• 计算 \(S'\) 的前缀函数，若在文本串对应位置发现 \(\pi[i] = |S|\)，则匹配成功。
• 起始位置还原：原文本串中的匹配起始下标为 \(i - 2 \cdot |S|\)。

3.2 字符串的周期与压缩

• 周期性质：若 \(r\) 是 \(s\) 的 Border 长度，则 \(|s|-r\) 是 \(s\) 的一个周期。
• 最小周期：根据最长 Border \(\pi[n]\)，可得最小周期为 \(n - \pi[n]\)。
• 字符串压缩：定义 \(k = n - \pi[n]\)。若 \(k\) 能整除 \(n\)，则最小压缩循环节长度为 \(k\)；否则不可压缩，长度为 \(n\)。

3.3 统计前缀出现次数

• 统计每个前缀 \(s[1...i]\) 在自身中的出现次数：
  利用前缀函数的嵌套性质（\(\pi[i], \pi[\pi[i]], \dots\) 均是其 Border），通过倒序累加实现：

vector<int> ans(n + 1, 1);
for (int i = n; i >= 1; i--) {
	if (pi[i] > 0) ans[pi[i]] += ans[i];
}

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4. 本质不同子串的数目

利用增量法实现 \(O(n^2)\) 求解：

1. 每追加一个字符 \(c\) 时，新增的子串必然是以该字符结尾的后缀。
2. 将当前串反转，任务转化为寻找“从未出现过的前缀”。
3. 对反转串计算前缀函数，找出其中的最大值 \(\pi_{max}\)。
4. 新增子串数 = 当前总长度 - \(\pi_{max}\)。