状态压缩+状压DP之旅行商问题

状压

意义

顾名思义：状态压缩

什么是状态压缩呢？

简单来说就是用一个\(n\)进制数，每一位上代表着某一个节点或是其他东西地状态。

常见的都是二进制，因为二进制明显更加好写，毕竟那么一大堆位运算可不是摆设。

常见用法

接下来的运算均从第0位开始

1. 判断一个数字\(x\)二进制下第\(i\)位是不是等于\(1\)。
   方法： (1 << i) & x / (x >> i) & 1

2. 将一个数字\(x\)二进制下第\(i\)位更改成\(1\)。
   方法： x = x | (1 << i)

3. 将一个数字\(x\)二进制下第\(i\)位更改成\(0\)。
   方法： x = x & ~(1 << i)

4. 把一个数字二进制下最靠右的第一个\(1\)去掉。
   方法： x = x & (x - 1)

5. 统计二进制中\(1\)的个数
   方法： __builtin_popcount(x)

最简单的例题

题面描述

给定 \(n\) 个非负整数 \(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\)。请你从中任意选择恰好 \(m\) 个整数，使得这 \(m\) 个整数的和不超过 \(k\)。
请求出有多少种不同的选择方案。

做法

• 我们定义第\(i\)位为\(0\)时，代表该数没有被选。

• 反之，当第\(i\)位为\(1\)时，代表该数已被选。

恰好\(m\)个整数我们可以用__builtin_popcount(x)函数来算有多少个\(1\)

• 如果不为\(m\)
  直接退出，去遍历下一个状态
• 如果为\(m\)，就往下遍历。
  每一次只需要找哪些位为\(1\)，并把对应的数加起来即可。
  找哪些位为\(1\)，有两种做法。

1. 每次找到最右边的\(1\)，加完对应的数再减掉。
2. 直接遍历from 1 to n，去找哪些位为\(1\)

代码

戳我

int a[N];

signed main() {
	int n = re, m = re, k = re;
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = re;
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < (1 << n); i++) if (__builtin_popcount(i) == m) {
		int cnt = 0;
		for (int j = 1; j <= n; j++) if ((i >> j - 1) & 1) cnt += a[j];
		ans += cnt <= k;
	}
	wr(ans), endl;
}

状压DP

意义

也是顾名思义，以某个状态去记录答案。

简单例题 最短 Hamilton 路径

做法

定义\(dp_{s,j}\)表示在\(S\)这个集合内，以\(j\)为终点的最短距离。

状态转移方程式：$$dp_{s,j} = min(dp_{i \oplus (1 << j),k} + graph_{k,j}) 且 j,k \in s,j \not= k$$

代码

别戳我

int n;
int a[N][N];
int dp[M][N];//表示集合S内的最短路径

signed main() {
	n = re;
	for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) graph[i][j] = re;
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	dp[1][0] = 0;
	for (int s = 1; s < (1 << n); i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if ((s >> j) & 1) {
				for (int k = 0; k < n; k++) {
					if ((s ^ (1 << j)) >> k & 1) dp[s][j] = min(dp[s][j], dp[s ^ (1 << j)][k] + graph[k][j]);
				}
			}
		}
	}
	wr(dp[(1 << n) - 1][n - 1]);
}