树的重心 + 树的同构

树的重心

定义

树的重心指的是删掉节点\(u\)后，剩余的所有连通块中，节点数量最多的那个连通块的大小。

定理

1. 深度之和最小的点就是重心
2. 所有子树的大小不超过 \(\frac{n}{2}\)

解决方法

1. 就是换根\(dp\)，\(dp\)转移式为

\[dp_v = dp_u + n - sz_v * 2; \]

2. 一个只需要一次\(dfs\)的好方法（That's good idea）

我们知道，当把节点 \(u\) 删除时，他会分成若干部分：以他直接相连的子儿子为根的若干子树

那么我们只需要算他子树中的最大的子树，即可，而另一部分，可以用 \(n - sz_u\) 表示大小，取最大值即可。

点击查看代码

int n;
vector<int> g[N];
vector<int> ans;
int Ans = 1e18;
int sz[N];

void dfs(int u, int fa) {
	sz[u] = 1;
	int maxn = 0;
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		sz[u] += sz[v], maxn = max(maxn, sz[v]);
	}
	maxn = max(maxn, n - sz[u]);
	if (maxn < Ans) Ans = maxn, ans.clear(), ans.push_back(u);
	else if (maxn == Ans) ans.push_back(u);
}

树的同构

感觉上难，其实十分的简。

我们以一道比较简单的紫题为例（这种紫随手切，但被hack了qwq）

[JSOI2016] 独特的树叶

你为什么不开，是不信任我吗？QAQ

算了，话不多说，因为说多了容易成废话。

解法

树上哈希。自己可以先去了解一下。

我们需要用到一个随机数，就用mt19937_64 rd(time(nullptr));了！

我们为了不被哈希冲突，所以用一个奇奇怪怪的函数！

ull f(ull x) {
	x ^= mask, x ^= x << 13, x ^= x >> 7, x ^= x << 17, x ^= mask;
	return x;
}

这个函数降低了哈希冲突的概率！

后面简单了，直接给代码吧！

点击查看代码

int n;
ull ans[N], G[N];
vector<int> g[N];

mt19937_64 rd(time(nullptr));

const ull mask = rd();

ull f(ull x) {
	x ^= mask, x ^= x << 13, x ^= x >> 7, x ^= x << 17, x ^= mask;
	return x;
}

void dfs1(int u, int fa) {
	ans[u] = 1;
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == fa) continue;
		dfs1(v, u);
		ans[u] += f(ans[v]);
	}
}

set<ull> s;

void dfs2(int u, int fa) {
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == fa) continue;
		G[v] = ans[v] + f(G[u] - f(ans[v]));
		s.insert(f(G[v]) + 1);
		dfs2(v, u);
	}
}

最后的答案自己想想！