树上背包+换根DP

树上背包

例题：[HAOI2015] 树上染色

题面描述

有一棵点数为 \(n\) 的树，树边有边权。给你一个在 \(0 \sim n\) 之内的正整数 \(k\) ，你要在这棵树中选择 \(k\) 个点，将其染成黑色，并将其他的 \(n-k\) 个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间的距离的和的收益。问收益最大值是多少。

做法

\(DP_{u, j}\) 表示以 \(u\) 节点为根的子树选取 \(j\) 个点染成黑色的最大值

那么我们的价值怎么算呢？

我们知道当前子树 \(u\) 内有 \(j\) 个点染成了黑色，那么另一个子树 \(v\) 它子树内一定是 \(k - j\) 个黑色的点。

而结果其实就是 \(u\) 子树内的黑点个数 \(\times\) \(v\) 子树内的黑点个数 \(+\) \(u\) 子树内的白点个数 \(\times\) \(v\) 子树内的白点个数

写出来就是

\[j \times (k - j) \times w + (size_v - j) \times (n - size_v - (k - j)) * w \]

代码

void dfs(int u, int fa) {
	sz[u] = 1;
	for (auto X : g[u]) {
		int v = X.first, w = X.second;
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		pre(i, min(sz[u], k), 0) pre(j, min(k, sz[v]), 0) dp[u][i + j] = max(dp[u][i + j], dp[u][i] + dp[v][j] + j * (k - j) * w + (sz[v] - j) * (n - sz[v] - (k - j)) * w);
		sz[u] += sz[v];
	}
}

换根DP

意义

简而言之就是给树换了个根，更方便求答案。

例题：P10962 Computer

题目描述

某学校在一段时间前购买了第一台计算机（因此这台计算机的编号是 1）。在最近几年中，学校又购买了 \(N-1\) 台新计算机。每台新计算机都连接到之前已经安装的计算机之一。学校的管理人员对网络运行缓慢感到担忧，想知道每台计算机需要发送信号的最大距离 \(S_i\)（即到最远计算机的电缆长度）。你需要提供这些信息。

形式化题意

给定一棵 \(n\) 个节点的树，求出每个节点到树中其他节点的最大距离。输出每个节点的最大距离。

解法

当以 \(1\) 为编号时，算出了所有的距离，你会发现有一部分可以重复使用。这，就是换根DP

剩下的DP定义就很简单了

代码

戳我看代码

vector<pii> g[N];
int dp1[N], dp2[N];

void dfs1(int u, int fa) {
	for (auto X : g[u]) {
		int v = X.first, w = X.second;
		if (v == fa) continue;
		dfs1(v, u);
		int val = dp1[v] + w;
		if (dp1[u] < val) swap(dp1[u], val);
		if (dp2[u] < val) swap(dp2[u], val);
	}
}

void dfs2(int u, int fa) {
	for (auto X : g[u]) {
		int v = X.first, w = X.second;
		if (v == fa) continue;
		int val = 0;
		if (dp1[v] + w == dp1[u]) val = dp2[u] + w; 
		else val = dp1[u] + w;
		if (dp1[v] < val) swap(dp1[v], val);
		if (dp2[v] < val) swap(dp2[v], val);
		dfs2(v, u);
	}
}