模电笔记 - 03 - 正弦交流电路
正弦交流电路
目录
基本概念
瞬时值
任一瞬间的值，用小写字母表示，常见\(e,u,i\)
幅值
瞬时值的最大值，用大写字母加下标m表示，常见\(E_m,U_m,I_m\)
有效值
根据热效应定义的，使用大写字母表示，常见\(E,U,I\)
\[\int^T_0i^2Rdt=I^2RT
\]
正弦交流量有
\[I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\qquad U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}
\]
正弦交流量表示
形式
（为了与电流 \(i\) 区别，虚数单位使用 \(j\) ）
\[\begin{aligned}
A&=a+jb\\
&=|A|cos\varphi+j|A|sin\varphi\\
&=|A|e^{j\varphi}\\
&=|A|\angle\varphi\\
\end{aligned}
\]
好处
- 简化计算
- 可以直接使用直流电流的方法分析交流电路
注意
- 向量表示一定是大写字母上加“·”，常见\(\dot{E},\dot{U},\dot{I},\dot{E}_m,\dot{U}_m,\dot{I}_m\)
- 只有正弦交流量可用相量表示，非正弦量不可以
- 只有同频率的正弦交流量的相量才能画在一张相量图上
纯电阻元件@交流
瞬时功率
表示：小写 \(p\)
计算：\(p=ui=2UIsin^2\omega t=UI(1-cos2\omega t)\)
平均功率
表示：大写 \(P\)
计算：\(P=UI=I^2 R=\frac{U^2}{R}\)
纯电感元件@交流
特性
- \(u,i\) 频率相同，相位 \(u\) 比 \(i\) 超前90°
\[u=L\frac{di}{dt}=\sqrt{2}Usin(\omega t+90°)
\]
感抗
有效值关系
\[U=I\omega L=IX_L
\]
定义
\[X_L=\omega L=2\pi fL\qquad 通直流阻交流
\]
向量关系
\[\dot{U}=(jX_L)\dot{I}
\]
功率
瞬时功率
\[p=ui=UIsin2\omega t
\]
平均功率
纯电感元件不消耗能量
\[P=0
\]
无功功率
\[Q=UI=I^2X_L=\frac{U^2}{X_L}
\]
数值：为瞬时功率最大值
作用：衡量电感元件和电源之间进行能量交换的能力大小
单位：乏（var），千乏（kvar）
纯电容元件@交流
特性
- \(ui\) 频率相同，相位 \(i\) 比 \(u\) 超前90°
\[u=C\frac{du}{dt}=\sqrt{2}Isin(\omega t+90°)
\]
容抗
有效值关系
\[U\omega C=I\ U=IX_C
\]
定义
\[X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}\qquad 通交流阻直流
\]
向量关系
\[\dot{U}=(-jX_C)\dot{I}
\]
功率
瞬时功率
\[p=ui=UIsin2\omega t
\]
平均功率
纯电容元件不消耗能量
\[P=0
\]
无功功率
\[Q=UI=I^2X_C=\frac{U^2}{X_C}
\]
RLC串联交流电路分析
复数阻抗
定义
\[\begin{align}
Z&=R+j(X_L-X_C)\\
&=R+jX\\
&=|Z|\angle \varphi
\end{align}
\]
电抗
\[X=X_L-X_C
\]
阻抗
\[|Z|=\sqrt{R^2+X^2}
\]
阻抗角
\[\varphi=\arctan\frac{X}{R}
\]
计算
\[\dot{U}=Z\dot{I} \quad \varphi=\varphi_u-\varphi_i
\]
电路性质
- 当 \(X_L=X_C\ (U_L=U_C)\) 时， \(\varphi=0°\)， \(u\) 、 \(i\) 同相位，电路呈电阻性
- 当 \(X_L>X_C\ (U_L>U_C)\) 时， \(\varphi>0°\)， \(u\) 超前于 \(i\) ，电路呈电感性
- 当 \(X_L<X_C\ (U_L<U_C)\) 时， \(\varphi<0°\)， \(u\) 滞后于 \(i\)，电路呈电容性
功率
瞬时功率
\[p=ui=p_R+p_L+p_C
\]
平均功率
功率因素：\(cos\varphi\)
\[\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int^T_0pdt\\
&=P_R=U_RI\\
&=UIcos\varphi
\end{align}
\]
无功功率
\[\begin{align}
Q&=Q_L+Q_C\\
&=(U_L-U_C)I\\
&=UIsin\varphi
\end{align}
\]
视在功率
\[S=UI
\]
数值：电源电压与电流的乘积
作用：表明电源所能提供的最大功率
单位：伏安（VA），千伏安（kVA）
比例关系
额定容量
- 电机、电炉和电灯：用有功功率PN表示
- 变压器、互感器和电焊机：用视在功率SN表示
- 电容器类设备：用无功功率QC表示
复数阻抗并联
\[\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}
\]
复数导纳
定义
单位：西门子（S）
\[\begin{align}
Y&=\frac{1}{Z}\\
&=G-j(B_L-B_C)\\
&=G-jB\\
&=|Y|\angle- \varphi
\end{align}
\]
电导
\[G=\frac{R}{R+(X_L-X_C)^2}
\]
感纳
\[B_L=\frac{X_L}{R+(X_L-X_C)^2}
\]
容纳
\[B_C=\frac{X_C}{R+(X_L-X_C)^2}
\]
电纳
\[B=B_L-B_C
\]
导纳
\[|Y|=\sqrt{G^2+B^2}
\]
导纳角
\[\varphi=\arctan\frac{B}{G}
\]
功率因素的提高
功率因素：\(cos\ \varphi\)
提高负载的功率因数有着很重要的经济意义。供电部门对用户的功率因数都有一定的要求
一般情况下，负载的功率因数并不高，这主要是因为一般负载都属于电感性负载，如电动机、日光灯管、焊接变压器等。对于这些负载可以通过并联电容器的办法来提高电路的功率因数。
谐振电路
产生方式
在具有电感和电容的电路中，电路的端电压与电路中的电流一般是不同相位的。如果调节电路的参数或电源的频率而使电压和电流同相位，这时就称电路发生了谐振。
分类
- 串联谐振
- 并联谐振
应用
- 在电力工程中一般都力图避免谐振发生
- 在无线电工程、电子测量等方面则可以充分利用谐振
串联谐振
产生条件
\[X_L=X_C\qquad \dot{U}与\dot{I}同相位
\]
谐振频率
\[\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
\]
特性
- 也称电压谐振
- \(Z=R\)，且电路是电阻性质，电路阻抗小
- 在电路电阻小时，极大提高\(U_L\)与\(U_C\)，原理如下：
\[I=\frac{U}{Z}\qquad U_L=U_C=\frac{U*j\omega L}{Z}\\
\Leftrightarrow\\
\frac{U_L}{U}=\frac{\omega L}{R}\quad \omega L>>R
\]
串联谐振的品质因素——Q值
\[Q=\frac{U_L}{U}=\frac{U_C}{U}=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}
\]
\(I-f\) 曲线
- 通频带：\(\Delta f=f_2-f_1\)，越小曲线越尖锐，频率选择性越强
- Q值越大，曲线越尖锐
并联谐振
产生条件
\[\frac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2}=\omega C\qquad \dot{U}与\dot{I}同相位
\]
谐振频率
\[\omega_0=\frac{1}{LC}\quad \frac{1}{2\pi\sqrt {LC}}
\]
特性
- 也称电流谐振
- \(Z=\frac{1}{Y}=\frac{R^2+(\omega L)^2}{R}\approx\frac{L}{RC}\)，且电路是电阻性质，电路阻抗大
- 在电路电阻小时，极大提高\(I_RL\)与\(I_C\)，如下：
\[\begin{align}
&I_{RL}\approx \frac{U}{X_L}=\frac{U}{\omega_0L}\\
&I_C=\frac{U}{X_C}=\omega_0CU\\
&I=\frac{U}{|Z|}=\frac{RC}{L}U
\end{align}
\]
并联谐振的品质因素——Q值
\[Q=\frac{I_{RL}}{I}=\frac{I_C}{I}=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}
\]
非正弦周期电路的分析
线性电路的分析方法与步骤
- 将给定的非正弦周期信号（电压或电流）展开为傅立叶级数。傅立叶级数的高次谐波取到哪一项为止，根据所需要的准确度的高低而定。
- 根据叠加原理，将展开的傅立叶级数的直流分量和各次谐波分量分别作用于所分析的电路，利用直流或交流电路的分析方法求出各分量的响应。注意：求直流分量的响应时，电容相当于开路，电感相当于短路；求各次谐波分量的响应时，相对于各次谐波的阻抗值是不同的，其中感抗为\(X_C=k\omega L\)，容抗为\(X_C=\frac{1}{k\omega C}\)。
- 将所求得的直流分量和各次谐波分量的响应叠加，即为所求得电路的响应。注意：一定是瞬时值的叠加，而不是相量的叠加，因为不同频率的相量叠加在电路中没有实际的物理意义。
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