题解：AT_agc015_e [AGC015E] Mr.Aoki Incubator

原题链接：link。

自然想到建立坐标系，以速度为纵轴，初始点为横轴。

以样例二为例来分析：

考虑将点两两连线：

`

其中红线为斜率为负数的线，容易知道点 \((x_i,v_i)\) 与点 \((x_j,v_j)\) 所连成的线的斜率为 \(\frac{x_j-x_i}{v_j-v_i}\)，注意到他们相遇的时间与斜率互为相反数，即若斜率为负数，则相遇的时间为正数，也就是两人会相遇。

接下来，我们将点编号：

这里我们先考虑 \(B,C,D\) 三个点，注意到 \(CD\) 的斜率比 \(BD\) 的斜率小，即 \(D\) 先于 \(C\) 相遇，后与 \(B\) 相遇。

翻译一下就是如果一开始 \(C\) 就被感染，那么 \(C\) 先与 \(D\) 相遇，那么 \(D\) 也被感染，接着 \(D\) 与 \(B\) 相遇，三人都被感染。

那么问题就出现了，我们如何处理这种间接感染的问题。

首先总结出规律，如果一个点 \(n\) 想要感染点 \(m\) 那么，点 \(n\) 与点 \(m\) 之间需要有一条斜率都是负的且单调上升的路径。

考虑关注一个点 \(k\) 的影响范围，容易想到点 \(k\) 的影响范围为 \(\left\{(x,y)\mid y\ge l,y\le r\right\}\) 其中 \(l\) 为最小的使与 \(k\) 连线的斜率小于 \(0\) 的点的纵坐标，类似的，\(r\) 为最大的使与 \(k\) 连线的斜率小于 \(0\) 的点的纵坐标，我们拿上图中的 \(D\) 点举例：

如图，蓝色区域就是点 \(D\) 的影响范围。

然后我们不考虑单个的点，我们考虑这个点的影响范围 \([l_i,r_i]\) 现在，问题转换为求线段覆盖区间的方案数，使用 dp。

设 \(dp_i\) 为覆盖前 \(i\) 个点的方案数，有状态转移方程：

\[dp_{k}=\sum_{i=l_k}^{k}dp_i \]

自然想到使用前缀和优化，使用树状数组，复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。