【模板】模意义下的乘法逆元

update on 2025.10.29：之前写得比较潦草，现在重新回来修改。

定义

若 \(\gcd(a,m)=1\)，则存在 $a'\in\mathbb{Z} $，使得 \(a\times a'\equiv 1\pmod m\)，\(a'\) 称为 \(a\) 对模 \(m\) 的数论倒数，或者称 \(a'\) 为模 \(m\) 的逆元。

接下来我要证明一件事情，我看很多题解里都没有证明，那就是题目让我们输出 \(1\) 到 \(n\) 这 \(n\) 个整数模 \(m\) 的数论倒数，但是对于每个数真的都有数论倒数吗？答案是肯定的，接下来来证明：

首先 \(\left\{1,2,\dots,m\right\}\) 为模 \(m\) 的完系，因为 \(\gcd(a,m)=1\) 所以 \(\left\{a,2a,\dots,ma\right\}\) 也为模 \(m\) 的完系，所以这里面一定存在某一项模 \(m\) 余 \(1\) ，即存在 \(a'\in \left\{1,2,\dots,m\right\}\) 使得 \(a\times a'\equiv 1\pmod m\)。

解法

题目中说明了 \(p\) 是质数，但是我们需要知道适用于任何情况的解法，就是扩展欧几里得解法，等会我们会介绍，这里作者介绍线性递推解法。

我们设 \(k=[\frac{p}{i}],p=ki+q\) 。所以 \(ki+q\equiv0\pmod p\)，那么 \(k\times i\times (i^{-1}\times q^{-1})+q\times (i^{-1}\times q^{-1})\equiv0\pmod p\)，所以 \(k\times q^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod p\)，那么 \(i^{-1}\equiv-k\times q^{-1}\pmod p\)，也就是说 \(i^{-1}\equiv-[\frac{p}{i}]\times q^{-1}\pmod p\)，用这个结论我们就可以求出 \(1\) 到 \(p-1\) 的逆元了！

使用时我们调用 \(f_a\) 即可，如果 \(a>p\) 那么就调用 \(f_{a \bmod p}\)。

这里给出模板题目：link。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define I using
#define AK namespace
#define IOI std
#define i_ak return
#define ioi  0
#define i_will signed
#define ak main
#define IMO ()
#define int long long
#define double long double
I AK IOI;
int n,p,f[3000005];
i_will ak IMO{
	//ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	//freopen("","r",stdin);
	//freopen("","w",stdout);
	cin>>n>>p;
	f[1]=1;
	cout<<f[1]<<"\n";
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=(-p/i*f[p%i]%p+p)%p;
		cout<<f[i]<<"\n";
	}
	i_ak ioi;
}

代码中需要注意如果是负数那么我们需要给它加 \(p\)。

显然代码中一层循环，复杂度为 \(\mathcal{O(n)}\)。

线性递推的解法对于求解多个逆元显然很有效，但是对于单组逆元却显得有些多余，于是我们有求单组逆元的两种解法。

费马小定理

前面提到了对于 \(p\) 不为质数，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解，在说这个之前我们先了解一种只能对于 \(p\) 为质数求解单组逆元的算法。

定理本身

对于质数 \(p\) 和整数 \(a\)，若 \(\gcd(p,a)=1\)，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。

定理证明

众所周知，我们还有一个著名的基本数论定理：欧拉定理。

欧拉定理

对于正整数 \(a,m\)，若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。

其中 \(\varphi(m)\) 为欧拉函数，表示模 \(m\) 的缩系的元素个数，即小于等于 \(m\) 的正整数中与 \(m\) 互质的数的个数。

证明

引理：令 \(\left\{a_1,a_2,\dots,a_{\varphi(m)}\right\}\) 为模 \(m\) 的缩系，则对于正整数 \(x\) 满足 \(\gcd(x,m)=1\)，有 \(\left\{x\times a_1,x\times a_2,\dots,x\times a_{\varphi(m)}\right\}\) 也为模 \(m\) 的缩系。

引理证明：

正难则反，考虑使用反证法。

假设存在一个正整数 \(x\) 使得 \(\gcd(x,m)=1\) 且 \(x\times a_i\equiv x\times a_j\pmod m\)。

那么，由于 \(\gcd(x,m)=1\) 所以有 \(a_i\equiv a_j\pmod m\) 与 \(\left\{a_1,a_2,\dots,a_{\varphi(m)}\right\}\) 为模 \(m\) 的缩系矛盾！

故，原命题成立。

欧拉定理证明：

证明了引理以后，欧拉定理也就很好证明了。

由引理可得，设 \(\left\{x_1,x_2,\dots,x_{\varphi(m)}\right\}\) 为模 \(m\) 的缩系，则 \(\left\{a\times x_1,a\times x_2,\dots,a\times x_{\varphi(m)}\right\}\) 也为模 \(m\) 的缩系，所以这两个几何的所有元素的乘积在模 \(m\) 的意义下相等，也就是：

\[(a\times x_1)\times (a\times x_2)\times \cdots\times (a\times x_{\varphi(m)})\equiv x_1\times x_2\times \cdots\times x_{\varphi(m)}\pmod m \]

然后，由于 \(x_1\times x_2\times \cdots\times x_{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\) 于是我们有

\[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m \]

证毕！

与费马小定理的关系

很显然，欧拉定理就是费马小定理的加强版，易知 \(\varphi(p)=p-1\) 于是，如果我们证明了欧拉定理就相当于证明了费马小定理。

求解逆元

根据费马小定理我们有：

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]

即

\[a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p \]

由乘法逆元的定义可知

\[a'\equiv a^{p-2}\pmod p \]

于是，我们就得出了如何求出 \(a\) 关于 \(p\) 的乘法逆元。

代码实现

问题被我们转化为了求 \(a^{p-2}\bmod p\) 的值，很自然的想到了利用快速幂求解。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,p;
int powmod(int a,int b,int mod){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	cin>>a>>p;
	cout<<powmod(a,p-2,p);
	return 0;
}

算法复杂度为 \(\mathcal{O(\log p)}\)。

扩展欧几里得

内容

在讲扩展欧几里得算法之前，我们先要引出一个著名数论定理 Bézout 定理，关于它我也有讲解，可以看这篇博客：link。

我们考虑不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解，我们可以采用递归的方法来求解，实际上这也就是扩展欧几里得算法：

1. 显然当 \(b=0\) 时，有 \(\left\{\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\) 满足条件。
2. 当 \(b\ne 0\) 时，我们根据欧几里得算法有 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) 于是，我们就有 \((a\bmod b)y+bx=\gcd(b,a\bmod b)\) 又由于 \((a\bmod b)y+bx=\left(a-b\times\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\right)\times y+bx\) 将 \(\operatorname{RHS}\) 展开，合并同类项后有 \((a\bmod b)y+bx=ay+b\times \left(x-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y\right)\) 于是，我们令 \(x_0=y,y_0=x-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y\) 就有 \(ax_0+by_0=\gcd(a,b)\)。

代码实现

根据上述内容，我们可以打出扩展欧几里得算法的代码：

int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;
	x=y;
	y=z-z*y;
	return d;
}

功能介绍

以上函数的返回值为 \(\gcd(a,b)\)，注意到参数 \(x,y\) 均在前面加上了取地址符，表示在函数中可以改变 x 与 y 的值，而函数运行完成后 x 与 y 所保存的值就是 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解。

与乘法逆元的联系

扩展欧几里得定理一般处理线性同余方程，我在这篇博客中有介绍：link，这里求乘法逆元也就相当于求关于 \(x\) 的同余方程 \(a\times x\equiv 1\pmod b\) 的解。

由线性同余方程的性质可以得到，方程有解当且仅当 \(\gcd(a,b)=1\) 也就是说，如果 \(\gcd(a,b)>1\) 我们输出无解就可以了。

又由于方程可以写成 \(ax+by=1\) 的形式，于是我们使用扩展欧几里得算法，可以求出特解 \(x_0\) 然后 \(x_0\bmod b\) 就是 \(a\) 在模 \(b\) 意义下最小的乘法逆元了。

代码实现

根据前面的内容可以打出代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,b;
int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;
	x=y;
	y=z-(a/b)*y;
	return d;
}
signed main(){
	cin>>a>>b;
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	cout<<(x%b+b)%b;
	return 0;
}