P8291 [省选联考 2022] 学术社区题解

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确实得跟着特殊性质做题，观察可知，特殊性质有：ABC、AC、BC、C，接下来依次解决。

ABC

由于没有楼上，那么考虑对于一个 A B louxia，连有向边 \(B\to A\)，又由于刚好能满足所有，从而最终肯定是一条学术接上若干条楼下，考虑建一个超级源点 \(S\)，然后每一个学术 \(x\) 就连边 \(S\to x\)，然后对于一个点 \(x\)，如果出度小于入度，那么就通过向 \(S\) 连边使得出度等于入度，跑欧拉回路即可构造方案。

AC

B 性质没了，那么就会出现入度小于出度的情况，这时就会导致不能满足所有条件，考虑用 \(S\) 补充入度，并标记这些边，答案减去这些边即可。

BC

考虑最终会是什么样子的，由于需要满足所有划水发言，那么肯定是一个学术上面接了一串楼上，下面接了一串楼下，于是考虑建分层图，第一层用来连所有楼上的边，然后学术用来连接同层的点，第二层连所有楼下的边，然后对于第一层，用超级源点补充入度，第二层用超级源点补充出度，使得所有点出入度平衡，跑欧拉回路构造方案。

C

考虑舍弃一条边的本质是什么，不妨设去掉了第一层的 \(A\to B\)，那么它满足不了条件，但是可以充当一条学术消息，如此做会让第一层 \(B\) 的入度减一，第二层 \(A\) 的入度加一，由此发现两个变化都是有利的，那么如何刻画答案呢？考虑将其放到二分图网络流上，左有部向起点终点连一个最大可抬升量的容量，然后对于同层边一次建边，跑一个网络流，那么最大流就是可抬升的量，根据残量网络可以得到操作方案，一次操作后，将 AC 的做法套用即可。