DP优化简记

在 OI 中，DP 优化分为很多种，都是十分重要的。下面将按照难度从小到大介绍。

前缀优化

对于一类 \(fi=\min_{j<i}{fj}+val_i\) 或者 \(fi=\sum_{j=l(i)}^{i-1} fj+val_i\) 之类的问题，可以预处理前缀最小值或者前缀和，使转移优化掉一维。

数据结构优化

对于一些多维状态的动态规划，可以观察这种式子的特点，将其中一维放到数据结构上，然后转移，比如需支持区间求最小值，单点修改，区间覆盖等。常见的数据结构有线段树、吉老师线段树、平衡树。

斜率优化

对于一类 \(f_i=\min_{j<i}f_j-F(i)G(j)+H(i)\) 的问题，可以考虑使用斜率优化，考虑对直线解析式进行移项：\(b=y-k\cdot x\)，于是我们对于每个点 \(j\)，以 \((G(j),f_j)\) 作为平面直接坐标系的点，再以斜率为 \(F(i)\) 的直线去截，那么 \(f_i\) 的值就是对于所以点 \(j\) 所得到的最小截距，此时容易发现不在下凸壳上的点一定不优，于是我们维护下凸壳，若此时斜率递增，直接单调队列/单调栈即可，否则则需要在栈上进行二分。

四边形不等式优化#1

对于一类 \(f_i=\min_{j<i} val_{j,i}\) 的问题，可以观察价值函数的性质，如有对于任意的 \(a\le b\le c\le d\)，均满足：\(val_{a,c}+val_{b,d}\le val_{a,b}+val_{c,d}\)，则称其满足四边形不等式，且对于每个 \(i\)，若 \(fi\) 取到最优的转移点 \(j\) 随着 \(i\) 的增加而单调不降。

这有什么好的性质呢？有两种做法来解决。

分治

我们考虑分治求答案，已知当前要求的区间为 \([l,r]\)，最有决策点的范围为 \([L,R]\)，那么对于当前区间的中点，我们可以先暴力求出最优决策点，然后分治下传即可，复杂度 \(\Theta(n\log n)\)。

如果价值函数不能 \(O(1)\) 求，但是可以在低复杂度内移动左右端点求，那么可以采用类似莫队，维护当前求得的区间 \([l,r]\)，转移时暴力移动指针，复杂度均摊 \(\Theta(\log n)\)，如 Artistic Partition 这题。

二分队列

四边形不等式优化#2

对于一类 \(f_i=\min_{j<i} f_j+val_{j,i}\) 的问题，若 \(val\) 价值函数满足四边形不等式，那么该价值函数 \(f_j+val_{j,i}\) 也同样满足四边形不等式，但是这时候就不能用简单的分治来求解，因为你无法在分治过程中计算价值（其依赖前面的 \(f\) 值），只能使用二分队列。