二分图简记

二分图最大匹配

匈牙利算法（复杂度 \(\Theta(n\cdot m)\)），最大流（复杂度 \(\Theta(m\sqrt n)\)）。

二分图最小点覆盖

等于最大匹配边数，考虑构造：

先求出最大匹配，取每个左边的非匹配点求增广路，标记路上的点，那么取左边的未标记点和右边的标记点就是答案。

先证明正好等于最大匹配，首先左边的非匹配点一定被标记了（出发找增广路），右边的非匹配点一定没有被标记（否则就找到了增广路，矛盾），而对于一条匹配边，如果右边的点被标记，那么左边的一定被标记，而过没被标记，那么左边的一定不会被标记，从而得出每一条匹配边都会被覆盖。

再证明是点覆盖：反正存在一条边没被覆盖，分类讨论：

• 左边匹配右边匹配：通过上文可知不存在。
• 左边匹配右边未匹配：左边被标记了，那么必定找到一条到右边点的增广路，矛盾。
• 左边未匹配右边匹配：从左边的点出发，右边的点一定被访问到，从而矛盾。
• 左右都没有匹配：若存在这样的边，那么找到了一条增广路，矛盾。

证毕，复杂度 \(\Theta(n\cdot m)\)。

二分图最大独立集

无向图独立集的定义：最大的点集使得任意一条边的两个端点不同时在其中。

无向图团的定义：最大的点集使得任意一条边的两个端点同时在或不再其中。

二分图最大独立集等于点数减去最小点覆盖。

证明：选出最多的点构成独立集，等价于去掉最少的点，使得每一条边都有一个点被去掉，即为最小点覆盖。

无向图最大团等于补图最大独立集。

证明：选出最多的点构成团相当于选择最多的点使得任意一条不再边集中的边不同是包含两个点，即为补图最大独立集。

有向无环图最小路径点覆盖

不可重路径点覆盖

考虑对于原图建出一张拆点二分图：对于原图的 \((u,v)\)，连上在新图上连接 \((u,v+n)\)。

那么不可重最小路径点覆盖条数就是总点数减去新图的最大匹配数。

证明：

考虑对于一条合法的路径集，那么显然每个点必定被经过且入度和出度都只有 \(1\)，那么所有路径除了终点的点都可以和唯一的后继形成一个匹配，终点不行。

考虑对于一个匹配，一次考虑每一条匹配边，直接在原图上连边，考虑把路径数量记在终点上，那么左边的匹配点肯定不会有贡献，左部的非匹配点则一定会有贡献。

从而形成了一一对应，证毕，复杂度 \(\Theta(m\sqrt n)\)。

可重路径点覆盖

对于两个点 \(u\) 和 \(v\)，如果 \(u\) 能走到 \(v\)，则在原图中加入边 \(u\to v\)，即可转换为上一个模型，复杂度 \(\Theta(\dfrac{n^3}{w}+n^{2.5})\)。

证明：考虑对于每一条路径上，肯定是分成若干段使得一段不再其余路径上，一段在，对于在其余路径上的边，那么显然已经被覆盖，不用考虑，那么可以直接通过这一段的前一个点直接到达这一段的后一个点，从而使得经过的点不重复。

似乎还有一种最大权闭合子图的做法，本人太菜了，不会/kk.

Hall定理

普通Hall定理

对于一个二分图，它存在完美匹配的充要条件是对于任意一个点集 \(S\subseteq N\)，记 \(nxt(S)\) 表示 \(S\) 中所有出边的点构成集合，则满足 \(\lvert S \rvert\le \lvert nxt(S)\rvert\)。

证明：必要性显然，接下来考虑证明充分性。

由于二分图不存在完美匹配，则必定存在一个左部点不再匹配中，那么从这个点开始找增广路，根据条件，可知一定存在没被访问的右部点，随便取一个，若其不再匹配中，推出矛盾，否则继续递归这个右部点所匹配的左部点，当左边的点全被访问后，即可推出矛盾。

推广Hall定理

对于一个二分图，它的最大匹配等于 \(\lvert N \rvert-\max\limits_{S\subseteq N} \lvert S\rvert-\lvert nxt(S) \rvert\)，这个读者自证不难。

另一个推广

对于一个所有点读书都为 \(k\) 的二分图，若它的左右两边点数相同，则必定存在完美匹配。

证明：考虑使用 Hall 定理，对于左部的任意一个大小为 \(s\) 的点集，那么它的出边集合的度数之和至少为 \(s\cdot k\)，从而得出出边集合至少有 \(s\) 个点，证毕。