AT_abc370_g Divisible by 3题解

设 \(f(x)\) 表示积为 \(x\) 的序列个数，注意到 \(f\) 是一个积性函数，且显然有：\(f(p^k)=\binom{m+k-1}{m-1}\)，如果这道题没有要求成积为好的，那么直接套上 Min25 筛板子即可，考虑如何做积为好的。

一个数的约数之和可以拆到每个质因子上，只要有一个质因子合法那么整个数就是合法的，但这样就不是积性函数了，考虑用总方案减去不合法方案，总方案数已经解决了，定义函数 \(g(x)\)，当 \(x\) 是好的时，\(g(x)=0\)，否则 \(g(x)=f(x)\)，这个函数显然也是积性函数，那么套 Min25 板子即可。

接下来考虑一下 Min25 筛具体的如何实现（此题的实现与模板有一些不同，大佬可以跳过），在求开始的质数点函数值前缀和时，我们定义积性函数 \(h(x)=[x\not\equiv 2\pmod 3]\)，然后统计这个函数的前缀和，注意到在质数点时 \(h(x)\cdot m\) 是等于 \(g(x)\)，从而这个函数是对的，剩下的部分和模板也大差不差了。