数学知识 - 随笔分类 - 在苏州的城边

初等数论及其应用——Lucas定理

摘要：Lucas定理用于解决较大组合数的取模问题，下面的理论整理源自冯志刚的《初等数论》，其与百度百科上呈现的Lucas定理形式上不同，但是容易看到二者的转化形式。首先我们来整理一下冯志刚的《初等数论》中关于Lucas定理的证明：阅读全文

posted @ 2017-08-04 21:21 在苏州的城边阅读(496) 评论(0) 推荐(0)

组合数学及其应用——polya计数

摘要：在处理类似下面的问题中，一般的计数方法会出现问题：假如你要用红、蓝两种颜色给一个正四面体的四个顶点着色，试问存在多少种不同的着色方案？在高中我们常用的方法是模拟涂色过程，分情况讨论，然后基于分步乘法原理。但是在那里没有考虑几何体通过旋转等操作带来的对称性，在本文中，我们就来介绍一种专门处理这类问题阅读全文

posted @ 2017-08-03 20:33 在苏州的城边阅读(1454) 评论(0) 推荐(0)

《A First Course in Abstract Algebra with Applications》-chaper1-数论-棣莫弗定理

摘要：定理1.24 (棣莫弗定理) 对每个实数x和每个正整数n有基于棣莫弗定理的推论如下：阅读全文

posted @ 2017-06-06 21:47 在苏州的城边阅读(318) 评论(0) 推荐(0)

《Concrete Mathematics》-chaper5-二项式系数

摘要：二项式系数，也是我们常用的组合数，最直观的组合意义就是从n个元素取k个元素所有可能的情况数，因此我们自然的得到下面二项式系数的定义式。那么我们通过具有组合意义的二项系数，给出更加一般的二项式系数的定义：通过上文给出推广形式的二项式系数，容易推得恒等式3. 但是我们注意到，在第二个恒等式的推导中，阅读全文

posted @ 2016-12-02 03:12 在苏州的城边阅读(893) 评论(0) 推荐(0)

组合数学及其应用——递推关系和生成函数

摘要：将计数结果或者某个特殊数列的信息，呈现在一个函数关系式中，我们称之为生成函数，如这个名字，我们本质上讨论的是一个函数解析式，但是这个解析式以一个无穷级数的形式蕴藏着某个计数数列。目前来看对于给出的这个“生成函数”的新定义，我们似乎看不到有什么很好的用处，但是随着问题的深入，它的作用便会呈现出来，例阅读全文

posted @ 2016-12-02 02:53 在苏州的城边阅读(4332) 评论(0) 推荐(0)

组合数学-习题

摘要：Q1(uva 1635)：给出长度为n(范围在[1,100000])的序列(仅仅知道长度n，具体某个元素我们并不清楚)，类似差分序列的形成方法，我们这里得到这样的一个序列：参考代码如下： #include<cstdio> #include<vector> #include<cmath> #inc 阅读全文

posted @ 2016-10-24 17:26 在苏州的城边阅读(371) 评论(0) 推荐(0)

组合数学及其应用——格路径与Schroder数

摘要：格路径问题是探讨在如下所示中的一个格点图上，从(0,0)位置到达(p,q)所有可能的情况数。我们称这样的通路为一条格路径。格点图： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 通常按照笛卡尔坐标系的习惯给各个格点标号，即左下角为(0,0)，横阅读全文

posted @ 2016-10-22 22:17 在苏州的城边阅读(2224) 评论(0) 推荐(0)

《Introduction to Algorithm》-chaper30-多项式与快速傅里叶变换

摘要：两个n次多项式的相加最直接的方法所需要的时间是O(n)，而实现两个n次多项式的乘法的直接方法则需要O(n^2)，本章讨论的快速傅里叶变换(FFT),将会将这一过程的时间复杂度降至O(nlogn).同时本章也会给出一些FFT现实应用. 多项式的两种表示形式：通过上面的推导，我们简单总结一下得到的结论阅读全文

posted @ 2016-10-21 01:47 在苏州的城边阅读(376) 评论(0) 推荐(0)

初等数论及其应用——中国剩余定理

摘要：在线性代数中，我们用高斯消元解决多元的线性方程组，而在数论中，面对一元变量的线性模方程组，我们利用中国剩余定理去求解x。阅读全文

posted @ 2016-10-03 01:35 在苏州的城边阅读(635) 评论(0) 推荐(0)

初等数论及其应用——费马小定理

摘要：费马小定理在化简数论问题有着广泛用途。阅读全文

posted @ 2016-10-02 23:28 在苏州的城边阅读(906) 评论(0) 推荐(0)

《A First Course in Probability》-chape4-离散型随机变量-几种典型分布列

摘要：超几何分布：超几何分布基于这样一个模型，一个坛子中有N个球，其中m个白球，N-m个黑球，从中随机取n(不放回)，令X表示取出来的白球数，那么：我们称随机变量X满足参数为(n,m,M)的超几何分布。考察其期望的求法：几何分布：在独立重复实验当中，每一次实验成功的概率是p，我们关注使得实验成功阅读全文

posted @ 2016-10-02 21:47 在苏州的城边阅读(1913) 评论(0) 推荐(0)

初等数论及其应用——快速幂取模

摘要：化到这一步，我们就将原来一个数据会非常大的A^B,变成了很多项的乘积。编程实现的时候，我们只需走一遍B的二进制位，并用一个变量a记录当前二进制位的权值，判断当前bi的值，然后将结果乘起来取模即可。快速幂取模通过将指数二进制化和同余性质，将取模操作放入了较小规模的计算，使得我们能够成功的计算较大乘方运阅读全文

posted @ 2016-09-28 10:25 在苏州的城边阅读(465) 评论(0) 推荐(0)

《Differential Equations with Boundary-Value Problems》-chaper2-一阶线性方程

摘要：学习微分方程中，一个很常见的疑惑就是，我们所熟悉的非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加特解，但是更为重要的是，我们需要知道这句话是怎么得来的。我们探讨一个未知问题的一般思路是将其不断的与已知已解决的问题进行靠拢，关于微分方程，最简单的不过是可分离变量的微分方程，那么我们就尝试将(1)方程与之阅读全文

posted @ 2016-09-24 10:11 在苏州的城边阅读(852) 评论(0) 推荐(0)

初等数论及其应用——欧几里得算法

摘要：欧几里得是数论当中最基本的定理，以其为基础的拓展欧几里得算法在解决同余方程、求模逆元等问题。首先来介绍几个概念，数论当中一些基本的概念其实在小学就学过，但是很长一段时间并没有用到它们，因此这里再拿出来温习一下。我们常常用a|b来表示b能够整除a(b > a)，即b/a是整数，但是“|”在使用的过阅读全文

posted @ 2016-09-15 21:04 在苏州的城边阅读(1460) 评论(0) 推荐(0)

《A First Course in Abstract Algebra with Applications》-chaper1-数论-关于素数

摘要：由于笔者在别的专栏多次介绍过数论，这里在《抽象代数基础教程》的专栏下，对于chaper1数论这一章节介绍的方式不那么“入门”。首先来介绍一个代数中常用也是非常重要的证明方法：数学归纳法。看这样几个数学现实：经过辛苦枯燥的计算，对于命题1，n最小的反例是41；对于命题2，n最小的反例是12055 阅读全文

posted @ 2016-09-15 09:42 在苏州的城边阅读(541) 评论(0) 推荐(0)

《University Calculus》-chape6-定积分的应用-求体积

摘要：定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积，之所以说看似不规则，是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的，我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积。方法1：切片法。这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似，因此这里不再重复推导，直接给出如何应用阅读全文

posted @ 2016-09-14 09:02 在苏州的城边阅读(1802) 评论(0) 推荐(0)

《A First Course in Probability》-chaper4-离散型随机变量-随机变量和或积的期望

摘要：基于随机变量一系列最基本的概念，我们便会开始探讨一些随机变量函数的期望、多个随机变量和的期望、多个随机变量乘积的期望。这里我们就简单的讨论后两个期望。这两个问题可以基于如下的一个现实模型：同时掷n个骰子(或者说掷骰子n次)，n个筛子的得到点数的和的期望是多少？n个筛子得到点数的乘积的期望是多少阅读全文

posted @ 2016-08-24 22:15 在苏州的城边阅读(467) 评论(0) 推荐(0)

《Linear Algebra and Its Applications》-chaper6-正交性和最小二乘法-基本概念与定理

摘要：这一章节我们主要讨论定义在R^n空间上的向量之间的关系，而这个关系概括来讲其实就是正交，然后引入正交投影、最佳逼近定理等，这些概念将为我们在求无解的线性方程组Ax=b的最优近似解打下基石. 正交性：先举个最简单的例子，在平面中，两个二维向量的点乘如果为0，那么我们可判定两个向量互相垂直，那么实际上阅读全文

posted @ 2016-08-22 22:11 在苏州的城边阅读(763) 评论(0) 推荐(0)

《A First Course in Probability》-chape1-组合分析-二项式定理

摘要：二项式系数的概念给人最直观的概念就是，这里有n个物品，分成两组，其中一组的数量是i的所有组合情况。它的证明过程既可以从组合分析的角度，也可以从数学归纳的角度，由于数学归纳涉及到计算比较困难，我们这里就呈现二项式定理的数学归纳的证明方法。定理证明的过程中用到了如下的二项式系数恒等关系，是基于递推求阅读全文

posted @ 2016-08-22 20:34 在苏州的城边阅读(694) 评论(0) 推荐(0)

《University Calculus》-chape12-偏导数-基本概念

摘要：偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广。关于定义域的开域、闭域的推广：其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周，只不过这里用了更加规范的数学语言。二次函数的图形、层曲线(等值曲线)：一元函数的定义域在x轴上，函数图像在xoy面上；二元函数的定义域在xoy面上，函数图像在阅读全文

posted @ 2016-08-20 17:55 在苏州的城边阅读(875) 评论(0) 推荐(0)

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