中国剩余定理及其扩展（仅结论）

基本形式：

设 \(m_1,m_2,\dots,m_k\) 两两互素，则对任意整数 \(a_1,\dots,a_k\)，同余方程组

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod{m_1}\\ x\equiv a_2 \pmod{m_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_k \pmod{m_k} \end{cases} \]

在模

\[M=m_1m_2\cdots m_k \]

的意义下有唯一解。

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解法：

1. 算 \(M=\prod m_i\)，\(M_i=M/m_i\)。
2. 求逆元 \(t_i\equiv M_i^{-1}\pmod{m_i}\)。
3. 解：

\[x\equiv \sum_{i=1}^k a_i M_i t_i \pmod M. \]

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扩展中国剩余定理：

本质是 两两合并同余式：

\[(a_1,m_1),(a_2,m_2)\ \longrightarrow\ (A,L) \]

其中：

\[g=\gcd(m_1,m_2) \]

有解当且仅当

\[g\mid (a_2-a_1). \]

令 \(x=a_1+m_1k\)，解

\[m_1k\equiv a_2-a_1\pmod{m_2}, \]

得到 \(k\)，则合并结果为

\[x\equiv a_1+m_1k\pmod{\operatorname{lcm}(m_1,m_2)}. \]

多个方程依次合并，最终得到

\[x\equiv A\pmod{\operatorname{lcm}(m_1,\dots,m_k)}. \]

经典 CRT 是扩展 CRT 在模数两两互素时的特例。