线性同余方程（仅结论）

转化方程：

设

\[ax\equiv b\pmod m,\qquad d=\gcd(a,m) \]

则：

\[ax\equiv b\pmod m \text{ 有解}\iff d\mid b \]

• 若 \(d\nmid b\)：无解。
• 若 \(d\mid b\)：有解，且模 \(m\) 下恰有 \(d\) 个解。

先解约化方程：

\[\frac ad x\equiv \frac bd\pmod{\frac md} \]

得其唯一解

\[x\equiv x_0\pmod{\frac md} \]

则原方程全部解为

\[x\equiv x_0+k\frac md\pmod m,\qquad k=0,1,\dots,d-1 \]

特别地，若

\[\gcd(a,m)=1 \]

则唯一解为

\[x\equiv a^{-1}b\pmod m \]

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求唯一解：

约化后方程为

\[a'x\equiv b'\pmod{m'} \]

其中

\[a'=\frac ad,\quad b'=\frac bd,\quad m'=\frac md \]

且

\[\gcd(a',m')=1 \]

所以 \(a'\) 在模 \(m'\) 下有唯一逆元 \(a'^{-1}\)。于是唯一解为

\[\boxed{x_0\equiv a'^{-1}b'\pmod{m'}} \]