理论（一）-PMSM数学模型

永磁同步电机PMSM数学模型

简介：本文推导PMSM电机数学模型，为后续控制理论算法作基础


系列链接：

理论（一）-PMSM数学模型
https://www.cnblogs.com/renminwansui-Motor/p/19981605

理论（二）-电流环PI参数自整定及时域频域分析
https://www.cnblogs.com/renminwansui-Motor/p/19993343

一、同步旋转坐标系d-q下

定子电压方程如下式1-1

\[\begin{align*} & {{u}_{d}}=R{{i}_{d}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{d}}-{{\omega }_{e}}{{\psi }_{q}} \\ & {{u}_{q}}=R{{i}_{q}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{q}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{d}} \tag{1-1} \end{align*} \]

​

定子磁链方程1-2为

\[\begin{align*} & {{\psi }_{d}}={{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}} \\ & {{\psi }_{q}}={{L}_{q}}{{i}_{q}} \tag{1-2} \end{align*} \]

​

1-2代入1-1，得

\[\begin{align*} & {{u}_{d}}=R{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ & {{u}_{q}}=R{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}}) \tag{1-3} \end{align*} \]

其中，\(u_d\)，\(u_q\)定子电压d-q轴分量；\(i_d\)，\(i_q\)定子电流； \({\psi }_{d}\)，\({\psi }_{q}\) 定子磁链；\({\psi }_{f}\)永磁体磁链；\({\omega }_{e}\)电角速度；\(L_d\)，\(L_q\)电感；R定子电阻。

电磁转矩方程1-3为

\[{{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}[{{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}}]\tag{1-4} \]

其中\(p_n\)是极对数。

另外机电运动方程1-4

\[{{T}_{e}}=J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}+B{{\omega }_{m}}+{{T}_{L}}\tag{1-5} \]

其中，机械角速度\({\omega }_{m}\)、转动惯量\(J\)、电磁转矩\(T_e\)、负载转矩\(T_l\)、阻尼系数B

上述公式1-1～1-5，是内置式PMSM的数学模型，对于表贴式PMSM则更简单一些，定子电感如下即可

\[{{L}_{d}}={{L}_{q}} \]

另外还有一些常见关系式

\[\begin{align*} & {{\omega }_{e}}={{p}_{n}}{{\omega }_{m}} \\ & {{n}_{r}}=\frac{30}{\pi }{{\omega }_{m}}=9.55{{\omega }_{m}} \\ & {{\theta }_{e}}=\int{{{\omega }_{e}}dt} \tag{1-6} \end{align*} \]

其中，\({\omega }_{m}\)为电机机械角速度，单位rad/s；\(n_r\)是电机转速，单位r/min，也就是rpm。

由1-3公式做一下变换，在\(u_q\)轴引入如下两部分

\[\begin{align*} -{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}} \\ -{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{d}}+{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{d}} \end{align*} \]

整理得到如下1-7

\[\begin{align*} & {{u}_{d}}=R{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ & {{u}_{q}}=R{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}\underline{\underline{-{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}}}+{{\omega }_{e}}{{L}_{d}}{{i}_{d}}\underline{\underline{-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{d}}+{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{d}}}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{f}} \\ & \quad =R{{i}_{q}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{d}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{f}}+({{L}_{d}}-{{L}_{q}})({{\omega }_{e}}{{i}_{d}}-\frac{d}{dt}{{i}_{q}}) \tag{1-7} \end{align*} \]

最终整理成矩阵形式为1-8所示：

\[\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{u}_{d}} \\ {{u}_{q}} \\ \end{matrix} \right]}_{电压向量}=\underbrace{\left[ \begin{matrix} R+{{L}_{d}}\frac{d}{dt} & -{{\omega }_{e}}{{L}_{q}} \\ {{\omega }_{e}}{{L}_{q}} & R+{{L}_{d}}\frac{d}{dt} \\ \end{matrix} \right]}_{对称主矩阵}\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]}_{电流向量}+\underbrace{\left[ \begin{matrix} 0 \\ {{\omega }_{e}}{{\psi }_{f}}+({{L}_{d}}-{{L}_{q}})({{\omega }_{e}}{{i}_{d}}-\frac{d}{dt}{{i}_{q}}) \\ \end{matrix} \right]}_{永磁体磁链项+凸极补偿项} \tag{1-8} \]

二、静止坐标系α-β下

将1-8用反park变换，得到静止坐标系α-β下的数学模型1-9

\[\left[ \begin{matrix} {{u}_{\alpha }} \\ {{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} R+{{L}_{d}}\frac{d}{dt} & {{\omega }_{e}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}}) \\ -{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}}) & R+{{L}_{d}}\frac{d}{dt} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+\left[ {{\omega }_{e}}{{\psi }_{f}}+({{L}_{d}}-{{L}_{q}})({{\omega }_{e}}{{i}_{d}}-\frac{d}{dt}{{i}_{q}}) \right]\left[ \begin{matrix} -\sin {{\theta }_{e}} \\ \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\tag{1-9} \]

式1-9就是永磁同步电机通用数学模型，也是设计无感FOC的通用模型。

另外当\(L_d=L_q\)时，为表贴式永磁同步电机，若永磁体磁链\(\psi_f\)=0，则是同步磁阻电机。

这里把静止坐标系α-β下的一些方程也列出来，方便复制。

静止坐标系α-β下的电磁转矩方程为1-10

\[{{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}({{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }})\tag{1-10} \]

静止坐标系α-β下的定子磁链方程为1-11

\[\begin{align*} & {{\psi }_{\alpha }}={{u}_{\alpha }}-R{{i}_{\alpha }} \\ & {{\psi }_{\beta }}={{u}_{\beta }}-R{{i}_{\beta }} \\ \end{align*} \tag{1-11} \]

静止坐标系α-β下的电流方程1-12

\[\begin{align*} & \frac{d{{i}_{\alpha }}}{dt}=\frac{1}{{{L}_{d}}}{{\omega }_{m}}{{\psi }_{\alpha }}+({{u}_{\alpha }}-R{{i}_{\alpha }})(\frac{1}{{{L}_{d}}}{{\cos }^{2}}{{\theta }_{m}}+\frac{1}{{{L}_{q}}}{{\sin }^{2}}{{\theta }_{m}})+\frac{1}{2}({{u}_{\beta }}-R{{i}_{\beta }})\sin 2{{\theta }_{m}}(\frac{1}{{{L}_{d}}}-\frac{1}{{{L}_{q}}}) \\ & \frac{d{{i}_{\beta }}}{dt}=\frac{1}{{{L}_{d}}}{{\omega }_{m}}{{\psi }_{\beta }}+({{u}_{\beta }}-R{{i}_{\beta }})(\frac{1}{{{L}_{d}}}{{\sin }^{2}}{{\theta }_{m}}+\frac{1}{{{L}_{q}}}{{\cos }^{2}}{{\theta }_{m}})+\frac{1}{2}({{u}_{\alpha }}-R{{i}_{\alpha }})\sin 2{{\theta }_{m}}(\frac{1}{{{L}_{d}}}-\frac{1}{{{L}_{q}}}) \tag{1-12} \end{align*} \]

其中，

\[\begin{align*} & {{\psi }_{\alpha }}=\frac{{{L}_{d}}}{{{L}_{q}}}{{\psi }_{f}}\cos {{\theta }_{m}}-(1-\frac{{{L}_{d}}}{{{L}_{q}}})(\frac{{{L}_{d}}+{{L}_{q}}}{2})({{i}_{\alpha }}\cos 2{{\theta }_{m}}+{{i}_{\beta }}\sin 2{{\theta }_{m}})+(\frac{{{L}_{d}}-{{L}_{q}}}{2}){{i}_{\alpha }} \\ & {{\psi }_{\beta }}=\frac{{{L}_{d}}}{{{L}_{q}}}{{\psi }_{f}}\sin {{\theta }_{m}}-(1-\frac{{{L}_{d}}}{{{L}_{q}}})(\frac{{{L}_{d}}+{{L}_{q}}}{2})({{i}_{\beta }}\cos 2{{\theta }_{m}}+{{i}_{\alpha }}\sin 2{{\theta }_{m}})+(\frac{{{L}_{d}}-{{L}_{q}}}{2}){{i}_{\beta }} \tag{1-13} \end{align*} \]

静止坐标系α-β下的机械机电运动方程为1-14

\[J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}={{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }}-{{T}_{L}}\tag{1-14} \]

其中

\[\frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{m}}\tag{1-15} \]

三、符号对照表

符号	名称	单位
\({u}_{d}\)，\(u_q\)	d-q轴电压分量	V
\({i}_{d}\)，\(i_q\)	d-q轴电流分量	A
\({u}_{\alpha}\)，\(u_{\beta}\)	α-β轴电压分量	V
\({i}_{\alpha}\)，\(i_{\beta}\)	α-β轴电流分量	A
\({\psi }_{d}\)\(，\)\({\psi }_{q}\)	d-q轴定子磁链分量	Wb（韦伯）
\({\psi }_{\alpha}\)，\({\psi }_{\beta}\)	α-β轴定子磁链分量	Wb（韦伯）
$${\psi }_{f}$$	永磁体磁链	Wb（韦伯）
$${\omega }_{e}$$	电角速度	rad/s（弧度/秒）
$${\omega }_{m}$$	机械角速度	rad/s（弧度/秒）
$$L_d$$，$$L_q$$	d-q轴定子电感	H（亨利）
\(R\)	定子电阻（相电阻）	Ω（欧姆）
$$T_e$$	电磁转矩	N·m（牛顿·米）
\(T_L\)	负载转矩	N·m（牛顿·米）
$$p_n$$	电机极对数
\(J\)	转动惯量	kg·m²（千克·平方米）
\(B\)	阻尼系数	N·m·s/rad（牛顿·米·秒/弧度）
$$n_r$$	电机转速	r/min（转/分钟）
\({\theta }_{e}\)	电角度	rad（弧度）
\({\theta }_{m}\)	机械角度	rad（弧度）

结尾：如有理解或书写错误，欢迎各位看官指出，感谢！