Rice向上穿越率 → 瑞利分布

高斯分布笔记：Rice向上穿越率 → 瑞利分布

核心结论：窄带零均值高斯随机过程，由Rice向上穿越率可直接导出包络（峰值）服从瑞利分布。

一、两列对比表（高斯部分）

前提：\(\boldsymbol{p(a,\dot y)=p(a)\cdot p(\dot y)}\)；窄带高斯过程，\(y(t)\) 与 \(\dot y(t)\) 统计独立，\(p(a)\) 是 \(y\) 的边缘密度在 \(y=a\) 处的值（常数）。

对比项目	常规单变量高斯分布	\(\boldsymbol{p(a,\dot y)=p(a)\cdot p(\dot y)}\)（固定 \(y=a\)）
随机变量	单个随机变量 \(x\)	仅 \(\dot y\) 为随机变量；\(a\) 为给定阈值常数
概率密度表达式	\(p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\)	\(p(a,\dot y)=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_y}\,e^{-a^2/(2\sigma_y^2)}}_{p(a)}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_{\dot y}}\,e^{-\dot y^2/(2\sigma_{\dot y}^2)}}_{p(\dot y)}\)
均值	常用零均值 \(\mu=0\)	\(\mu_{\dot y}=0\)；\(a\) 不是均值，为阈值
方差	\(\sigma^2\)	\(\dot y:\sigma_{\dot y}^2\)；\(\sigma_y^2\) 用于计算常数项 \(p(a)\)
独立关系	单变量，不存在独立概念	依靠 \(y,\dot y\) 的统计独立性，联合密度可拆成两个边缘密度相乘
指数项结构	单指数项 \(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\)	指数分为常数部分 \(-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}\) + 变量部分 \(-\frac{\dot y^2}{2\sigma_{\dot y}^2}\)
积分范围	\(\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\,\mathrm{d}x=1\)	向上穿越率积分：\(v_a^+=\int_{0}^{+\infty}\dot y\,p(a,\dot y)\,\mathrm{d}\dot y=\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y}\,e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}}\)
物理含义	描述单个标量随机量的概率分布	响应幅值刚好等于阈值 \(a\) 时，速度 \(\dot y\) 的概率密度，Rice 穿越公式基础
适用场景	通用数理统计	随机振动疲劳，计算阈值向上穿越期望次数 \(v_a^+\)

二、Rice向上穿越率完整推导

目标：\(v_a^+=\int_{0}^{+\infty}\dot y\, p(a,\dot y)\,\mathrm{d}\dot y\)

①代入联合密度，常数提出积分外

\[\begin{aligned} v_a^+ &= \int_{0}^{\infty}\dot y \cdot p(a,\dot y)\,\mathrm{d}\dot y \\ &=\int_{0}^{\infty}\dot y \cdot p(a)\,p(\dot y)\,\mathrm{d}\dot y \\ &= p(a)\int_{0}^{\infty}\dot y \,p(\dot y)\,\mathrm{d}\dot y \end{aligned} \]

②边缘密度

\[p(a)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_y}\exp\left(-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}\right),\qquad p(\dot y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_{\dot y}}\exp\left(-\frac{\dot y^2}{2\sigma_{\dot y}^2}\right) \]

③计算速度积分 \(I=\int_{0}^{\infty}\dot y\,p(\dot y)\,\mathrm{d}\dot y\)

\[I=\int_{0}^{\infty}\dot y \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_{\dot y}}\,e^{-\dot y^2/(2\sigma_{\dot y}^2)}\,\mathrm{d}\dot y \]

④变量代换：令 \(u=\frac{\dot y^2}{2\sigma_{\dot y}^2}\)

\[\mathrm{d}u=\frac{\dot y}{\sigma_{\dot y}^2}\,\mathrm{d}\dot y \implies \dot y\,\mathrm{d}\dot y=\sigma_{\dot y}^2\,\mathrm{d}u \]

上下限：\(\dot y=0 \Rightarrow u=0;\ \dot y\to\infty \Rightarrow u\to\infty\)

⑤求解积分

\[\begin{aligned} I&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_{\dot y}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\cdot \sigma_{\dot y}^2 \,\mathrm{d}u \\ &=\frac{\sigma_{\dot y}}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,\mathrm{d}u \\ &=\frac{\sigma_{\dot y}}{\sqrt{2\pi}}\Big[-e^{-u}\Big]_0^\infty \\ &=\frac{\sigma_{\dot y}}{\sqrt{2\pi}} \end{aligned} \]

⑥合并得到Rice穿越率

\[\begin{aligned} v_a^+ &= p(a)\cdot I \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_y}\,e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}} \cdot \frac{\sigma_{\dot y}}{\sqrt{2\pi}} \\ &=\boldsymbol{\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y}\,e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}}} \end{aligned} \]

补充：连续分布中 \(p(a)\) 是概率密度函数值，单点概率 \(P(Y=a)=\int_{a}^{a}p(y)\mathrm{d}y=0\)；穿越率是单位时间向上穿过\(a\)的期望次数，不是单点概率。

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三、物理直觉：Rice穿越率 → 瑞利分布

窄带过程：慢变化随机包络 + 高频载波；峰值处 \(\dot y=0\)。

• \(v_0^+\)：向上穿越零点次数，代表单位时间总波峰数量；
• \(v_a^+\)：向上穿越阈值\(a\)次数，代表单位时间峰值大于\(a\)的峰的数量；
• \(\frac{v_a^+}{v_0^+}=P(A>a)\)：峰值大于\(a\)的概率。

四、数学推导得到瑞利分布

1. Rice向上穿越率

\[v_a^+=\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y}\exp\left(-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}\right) \]

2. 零点向上穿越率（\(a=0\)）

\[v_0^+=\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y} \]

3. 瑞利生存函数（CCDF）

\[P(A>a)=\frac{v_a^+}{v_0^+}=\exp\left(-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}\right) \]

4. 对生存函数求负导得到瑞利概率密度PDF

\[p_A(a)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}P(A>a)=\boldsymbol{\frac{a}{\sigma_y^2}\exp\left(-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}\right),\ a\ge 0} \]

五、Rice‑瑞利关系简表

项目	表达式	物理含义
Rice向上穿越率	\(v_a^+=\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y}e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}}\)	单位时间向上穿过阈值\(a\)的期望次数
零点向上穿越率	\(v_0^+=\frac{\sigma_{\dot y}}{2\pi\sigma_y}\)	单位时间总的平均波峰数目
瑞利生存函数CCDF	\(P(A>a)=e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}}\)	峰值\(A\)大于\(a\)的概率
瑞利概率密度PDF	\(p_A(a)=\frac{a}{\sigma_y^2}e^{-\frac{a^2}{2\sigma_y^2}}\ (a\ge0)\)	窄带高斯包络（峰值）的概率密度

一句话总结：窄带高斯过程本身服从高斯分布；它的包络/峰值服从瑞利分布，瑞利分布的尾部直接由Rice向上穿越率导出。