一、起点：窄带过程是怎么来的？
结论1：宽带随机激励 \(x(t)\)经过共振系统 \(H(\omega)\)后，输出 \(y(t)\)的谱密度被限制在共振频率 \(\omega_0\)附近的一个窄频带 \(\Delta\omega\)内，形成窄带随机过程。
- 典型样本像“振幅和相位随机变化的正弦波”。
- 理想化假设：谱密度为矩形（图8.2a），自相关函数为衰减振荡（图8.2b）。
二、窄带过程的基本统计量
结论2：对于均值为零的平稳高斯窄带过程：
\[m_y = 0,\quad m_{\dot y} = 0
\]
结论3：方差由谱密度积分得到：
\[\sigma_y^2 = 2S_0\Delta\omega
\]
\[\sigma_{\dot y}^2 \simeq 2S_0\omega_0^2\Delta\omega
\]
结论4：\(y\)与 \(\dot y\)不相关：
\[E[y\dot y] = 0 \quad\Rightarrow\quad \rho_{y\dot y} = 0
\]
结论5：概率密度函数为高斯形式：
\[p(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y} e^{-y^2/2\sigma_y^2}
\]
\[p(y,\dot y) = p(y)p(\dot y)
\]
即 \(y\)与 \(\dot y\)独立。
三、穿越分析：正穿越频率
结论6：正穿越 \(y=a\)的平均频率一般公式为：
\[\nu_a^+ = \int_0^\infty p(a,\dot y)\dot y\,d\dot y
\]
结论7：对高斯过程，代入联合密度后得：
\[\nu_a^+ = \frac{1}{2\pi}\frac{\sigma_{\dot y}}{\sigma_y} e^{-a^2/2\sigma_y^2}
\]
结论8：特别地，正穿越零的频率（即过程平均频率）为：
\[\nu_0^+ = \frac{1}{2\pi}\frac{\sigma_{\dot y}}{\sigma_y}
\]
结论9：对单自由度系统受白噪声激励：
\[\nu_a^+ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} e^{-a^2/(2\pi S_0/kc)}
\]
令 $a=0)，得：
\[\nu_0^+ = \frac{\omega_n}{2\pi}
\]
四、峰值分布：瑞利分布
结论10：峰值超过 \(a\)的概率等于正穿越 \(a\)的次数与正穿越零的次数之比：
\[\int_a^\infty p_p(a)\,da = \frac{\nu_a^+}{\nu_0^+}
\]
结论11：峰值概率密度的一般公式：
\[p_p(a) = -\frac{1}{\nu_0^+}\frac{d}{da}(\nu_a^+)
\]
结论12：对高斯窄带过程，代入 \(\nu_a^+\)后得瑞利分布：
\[p_p(a) = \frac{a}{\sigma_y^2} e^{-a^2/2\sigma_y^2},\quad 0\le a<\infty
\]
结论13：峰值超过 \(a\)的概率为：
\[P(\text{峰值}>a) = e^{-a^2/2\sigma_y^2}
\]
例如：
\[P(\text{峰值}>3\sigma_y) = e^{-4.5} \approx 0.011
\]
五、极大值频率与穿零频率的比较
结论14：极大值频率等于 \(\dot y\)正穿越零的频率：
\[\mu_y = \nu_{\dot y=0}^+ = \frac{1}{2\pi}\frac{\sigma_{\ddot y}}{\sigma_{\dot y}}
\]
结论15：对理想窄带过程（\(\Delta \omega \ll \omega_0\)）：
\[\mu_y \simeq \frac{\omega_0}{2\pi},\quad \nu_0^+ \simeq \frac{\omega_0}{2\pi}
\]
两者相等 ⇒ 每次穿零对应一个峰值 ⇒ 瑞利分布假设合理。
结论16：对非理想窄带过程（带宽不够窄），两者不等：
\[\mu_y = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3(\omega_2^5-\omega_1^5)}{5(\omega_2^3-\omega_1^3)}}
\]
\[\nu_0^+ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\omega_2^3-\omega_1^3}{3(\omega_2-\omega_1)}}
\]
例如倍频程带宽（70.7–141.4 Hz）：
\[\mu_y = 115\text{ Hz},\quad \nu_0^+ = 108\text{ Hz}
\]
极大值频率比穿零频率多出约 \(6.5\%\)。
结论17：差别的原因是高频分量引起局部凹凸，产生附加极大值。瑞利分布适用于大峰值估计，但需用极大值频率与穿零频率的比较来检验其准确性。
六、一句话串起全部结论
宽带激励经共振系统滤波后形成窄带高斯过程；其均值为零、\(y\)与 \(\dot y\)独立；正穿越 \(a\)的频率按高斯形式衰减；由此导出峰值服从瑞利分布；理想窄带时极大值频率等于穿零频率，瑞利分布成立；非理想窄带时极大值频率偏高，需修正。
这条主线把谱密度 → 方差 → 不相关 → 联合密度 → 穿越频率 → 峰值分布 → 极大值频率检验全部串起来了。
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