频域疲劳计算（Dirlik 法）完整公式推导过程
频域疲劳计算（Dirlik 法）完整公式推导过程
一、输入与应力响应 PSD
1.1 输入载荷 PSD
设输入随机载荷的功率谱密度为：
\[S_x(f), \quad f \in [0, \infty)
\]
1.2 频响传递函数
通过有限元频响分析，得到危险点的应力传递函数：
\[H(f)
\]
1.3 应力响应 PSD
\[S_\sigma(f) = |H(f)|^2 \, S_x(f)
\]
二、谱矩的定义与推导
2.1 自相关函数
设应力随机过程为 $$ \sigma(t) $$，零均值平稳，自相关函数：
\[R_\sigma(\tau) = E[\sigma(t) \sigma(t+\tau)]
\]
2.2 Wiener-Khinchin 定理
\[S_\sigma(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_\sigma(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau
\]
\[R_\sigma(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} S_\sigma(f) e^{j2\pi f\tau} df
\]
2.3 谱矩定义
\[m_n = \int_0^\infty f^n \, S_\sigma(f) \, df, \quad n = 0,1,2,3,4
\]
2.4 谱矩与自相关函数导数的关系
对 $$ R_\sigma(\tau) = \int_0^\infty S_\sigma(f) \cos(2\pi f\tau) df $$ 逐次求导：
\[R_\sigma(0) = \int_0^\infty S_\sigma(f) df = m_0
\]
\[R_\sigma'(\tau) = -2\pi \int_0^\infty f S_\sigma(f) \sin(2\pi f\tau) df
\]
\[R_\sigma'(0) = 0
\]
\[R_\sigma''(\tau) = -(2\pi)^2 \int_0^\infty f^2 S_\sigma(f) \cos(2\pi f\tau) df
\]
\[R_\sigma''(0) = -(2\pi)^2 m_2
\]
\[R_\sigma''''(0) = (2\pi)^4 m_4
\]
2.5 各阶矩的物理意义
\[E[\sigma^2] = R_\sigma(0) = m_0
\]
\[E[\dot{\sigma}^2] = -R_\sigma''(0) = (2\pi)^2 m_2
\]
\[E[\ddot{\sigma}^2] = R_\sigma''''(0) = (2\pi)^4 m_4
\]
三、穿越理论推导（Rice 公式）
3.1 过零率推导
3.1.1 穿越条件
在时间区间 $$ [t, t+dt] $$ 内发生正穿越（从负到正穿过零点）：
\[\sigma(t) < 0 \quad \text{且} \quad \sigma(t+dt) > 0
\]
泰勒展开：
\[\sigma(t+dt) \approx \sigma(t) + \dot{\sigma}(t) dt
\]
代入条件：
\[-\dot{\sigma}(t) dt < \sigma(t) < 0, \quad \dot{\sigma}(t) > 0
\]
3.1.2 期望穿越次数
单位时间内正穿越的期望次数：
\[\nu_0^+ = \int_0^\infty \dot{\sigma} \, p(\sigma=0, \dot{\sigma}) \, d\dot{\sigma}
\]
3.1.3 高斯过程联合概率密度
对高斯平稳过程，$$ \sigma $$ 与 $$ \dot{\sigma} $$ 相互独立：
\[p(\sigma, \dot{\sigma}) = p(\sigma) \cdot p(\dot{\sigma})
\]
其中：
\[p(\sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi m_0}} e^{-\sigma^2/(2m_0)}
\]
\[p(\dot{\sigma}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_{\dot{\sigma}}} e^{-\dot{\sigma}^2/(2\sigma_{\dot{\sigma}}^2)}, \quad \sigma_{\dot{\sigma}}^2 = (2\pi)^2 m_2
\]
在 $$ \sigma = 0 $$ 处：
\[p(\sigma=0, \dot{\sigma}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi m_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_{\dot{\sigma}}} e^{-\dot{\sigma}^2/(2\sigma_{\dot{\sigma}}^2)}
\]
3.1.4 积分求解
\[\nu_0^+ = \int_0^\infty \dot{\sigma} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi m_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_{\dot{\sigma}}} e^{-\dot{\sigma}^2/(2\sigma_{\dot{\sigma}}^2)} d\dot{\sigma}
\]
令 $$ u = \dot{\sigma}2/(2\sigma_{\dot{\sigma}}2) $$，则 $$ du = \dot{\sigma}/\sigma_{\dot{\sigma}}^2 , d\dot{\sigma} $$：
\[\nu_0^+ = \frac{1}{2\pi \sqrt{m_0} \sigma_{\dot{\sigma}}} \cdot \sigma_{\dot{\sigma}}^2 \int_0^\infty e^{-u} du
\]
\[\nu_0^+ = \frac{\sigma_{\dot{\sigma}}}{2\pi \sqrt{m_0}}
\]
代入 $$ \sigma_{\dot{\sigma}} = 2\pi \sqrt{m_2} $$：
\[\nu_0^+ = \frac{2\pi \sqrt{m_2}}{2\pi \sqrt{m_0}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}
\]
3.1.5 过零率结果
\[\boxed{\nu_0 = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} \quad (\text{Hz})}
\]
3.2 峰值率推导
3.2.1 峰值条件
峰值出现时：
\[\dot{\sigma} = 0 \quad \text{且} \quad \ddot{\sigma} < 0
\]
峰值率 = 速度过程 $$ \dot{\sigma}(t) $$ 从正到负穿过零点的次数。
3.2.2 套用过零率公式
对过程 $$ \dot{\sigma}(t) $$：
\[E[\dot{\sigma}^2] = (2\pi)^2 m_2
\]
其导数 $$ \ddot{\sigma} $$ 的方差：
\[E[\ddot{\sigma}^2] = (2\pi)^4 m_4
\]
套用过零率公式：
\[\nu_p = \sqrt{\frac{E[\ddot{\sigma}^2]}{E[\dot{\sigma}^2]}} = \sqrt{\frac{(2\pi)^4 m_4}{(2\pi)^2 m_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}
\]
3.2.3 峰值率结果
用 Hz 表示：
\[\boxed{\nu_p = \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} \quad (\text{Hz})}
\]
3.3 不规则因子
\[\boxed{\gamma = \frac{\nu_0}{\nu_p} = \frac{m_2}{\sqrt{m_0 m_4}}}
\]
四、Dirlik 参数推导
4.1 带宽参数
\[\boxed{\gamma = \frac{m_2}{\sqrt{m_0 m_4}}}
\]
\[\boxed{X_m = \frac{m_1}{m_0} \sqrt{\frac{m_2}{m_4}}}
\]
4.2 Dirlik 参数
\[\boxed{D_1 = \frac{2(X_m - \gamma^2)}{1 + \gamma^2}}
\]
\[\boxed{R = \frac{\gamma - X_m - D_1^2}{1 - \gamma - D_1 + D_1^2}}
\]
\[\boxed{D_2 = \frac{1 - \gamma - D_1 + D_1^2}{1 - R}}
\]
\[\boxed{D_3 = 1 - D_1 - D_2}
\]
\[\boxed{Q = \frac{1.25(\gamma - D_3 - D_2 R)}{D_1}}
\]
约束：
\[D_1 + D_2 + D_3 = 1
\]
五、Dirlik 概率密度函数
5.1 归一化幅值
\[Z = \frac{S}{2\sqrt{m_0}}
\]
5.2 概率密度函数
\[\boxed{p(S) = \frac{1}{2\sqrt{m_0}} \left[
\frac{D_1}{Q} e^{-Z/Q} +
\frac{D_2 Z}{R^2} e^{-Z^2/(2R^2)} +
D_3 Z e^{-Z^2/2}
\right]}
\]
5.3 三项的物理意义
| 项 | 分布类型 | 描述 |
|---|---|---|
| $$ \frac{D_1}{Q} e^{-Z/Q} $$ | 指数分布 | 小幅值循环 |
| $$ \frac{D_2 Z}{R^2} e{-Z2/(2R^2)} $$ | 瑞利分布 | 中幅值循环 |
| $$ D_3 Z e{-Z2/2} $$ | 标准瑞利分布 | 大幅值循环 |
5.4 归一化验证
\[\int_0^\infty p(S) dS = 1
\]
六、S-N 曲线
6.1 基本形式
\[\boxed{N(S) = C \, S^{-k}}
\]
6.2 形式转换
若曲线形式为：
\[N = \left(\frac{S}{S_f}\right)^{1/b}
\]
则转换为：
\[C = S_f^{-1/b}, \quad k = -1/b
\]
七、Miner 线性累积损伤
7.1 离散形式
\[D = \sum_i \frac{n_i}{N_i}
\]
7.2 连续形式
\[\boxed{D = \int_0^\infty \frac{n(S)}{N(S)} dS}
\]
7.3 各幅值的循环次数
总循环数：
\[N_{\text{total}} = \nu_p \cdot T
\]
幅值落在 $$ [S, S+dS] $$ 的循环次数：
\[\boxed{n(S) dS = \nu_p \cdot T \cdot p(S) dS}
\]
八、总损伤积分
8.1 代入 Miner 法则
\[D = \int_0^\infty \frac{n(S)}{N(S)} dS
= \int_0^\infty \frac{\nu_p T \, p(S)}{N(S)} dS
\]
8.2 提出常数
\[D = \nu_p T \int_0^\infty \frac{p(S)}{N(S)} dS
\]
8.3 代入 S-N 曲线
\[\frac{1}{N(S)} = \frac{S^k}{C}
\]
\[\boxed{D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty p(S) S^k \, dS}
\]
8.4 展开形式
\[D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty \frac{1}{2\sqrt{m_0}} \left[
\frac{D_1}{Q} e^{-Z/Q} +
\frac{D_2 Z}{R^2} e^{-Z^2/(2R^2)} +
D_3 Z e^{-Z^2/2}
\right] S^k \, dS
\]
九、平均应力修正（Goodman）
9.1 修正公式
\[\boxed{S_{\text{eq}} = \frac{S}{1 - \sigma_m / \sigma_u}}
\]
9.2 修正后的损伤
\[D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty p(S) S_{\text{eq}}^k \, dS
\]
十、疲劳寿命
10.1 失效条件
\[D = 1
\]
10.2 疲劳寿命
\[\boxed{T_f = \frac{T}{D}}
\]
10.3 展开形式
\[\boxed{T_f = \frac{C}{\nu_p \displaystyle\int_0^\infty p(S) S_{\text{eq}}^k \, dS}}
\]
十一、完整公式链条
11.1 从输入到输出的完整推导
\[\begin{aligned}
S_x(f) &\xrightarrow{\times |H(f)|^2} S_\sigma(f) \\[6pt]
S_\sigma(f) &\xrightarrow{\int f^n \cdot df} m_n \quad (n=0,1,2,4) \\[6pt]
m_n &\xrightarrow{\text{Rice 公式}} \nu_p = \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} \\[6pt]
m_n &\xrightarrow{\text{Dirlik 公式}} D_1, D_2, D_3, R, Q \\[6pt]
D_1, D_2, D_3, R, Q &\xrightarrow{\text{Dirlik PDF}} p(S) \\[6pt]
p(S), \nu_p, T, C, k &\xrightarrow{\text{Miner 法则}} D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty p(S) S^k dS \\[6pt]
D &\xrightarrow{T_f = T/D} T_f
\end{aligned}
\]
11.2 核心公式汇总表
| 步骤 | 公式 |
|---|---|
| 应力 PSD | $$ S_\sigma(f) = |H(f)|^2 S_x(f) $$ |
| 谱矩 | $$ m_n = \int_0^\infty f^n S_\sigma(f) df $$ |
| 过零率 | $$ \nu_0 = \sqrt{m_2/m_0} $$ |
| 峰值率 | $$ \nu_p = \sqrt{m_4/m_2} $$ |
| 不规则因子 | $$ \gamma = m_2/\sqrt{m_0 m_4} $$ |
| Dirlik 参数 | $$ D_1, D_2, D_3, R, Q $$ |
| Dirlik PDF | $$ p(S) = \frac{1}{2\sqrt{m_0}}[\cdots] $$ |
| S-N 曲线 | $$ N(S) = C S^{-k} $$ |
| Miner 损伤 | $$ D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty p(S) S^k dS $$ |
| 疲劳寿命 | $$ T_f = T/D $$ |
| Goodman 修正 | $$ S_{\text{eq}} = \frac{S}{1-\sigma_m/\sigma_u} $$ |
十二、一句话总结
从载荷 PSD 出发，通过传递函数得到应力 PSD，积分得到谱矩 $$ m_0, m_1, m_2, m_4 $$；由 $$ m_2, m_4 $$ 通过 Rice 公式得到峰值率 $$ \nu_p = \sqrt{m_4/m_2} $$；由谱矩通过 Dirlik 公式得到概率密度 $$ p(S) $$；再用 Miner 法则把总循环数 $$ \nu_p T $$ 按 $$ p(S) $$ 分摊到各幅值，除以 S-N 曲线 $$ N(S) = C S^{-k} $$，积分得总损伤
\[D = \frac{\nu_p T}{C} \int_0^\infty p(S) S^k dS \]最终疲劳寿命
\[T_f = \frac{T}{D} \]
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