微分方程及边界值问题 计算和建模 6e 3.4 机械振动

3.4 机械振动

相对于在更复杂的机械系统中发生的振动，连接在弹簧上的质量块的运动可以作为振动的一个相对简单的例子。对于许多这样的系统，对这些振动的分析是一个求解常系数线性微分方程的问题。

如图3.4.1所示，我们考虑一个质量为\(m\)的物体附着在一根普通弹簧的一端，弹簧既能抵抗压缩也能抵抗拉伸，弹簧的另一端连接在固定的墙壁上。假设物体位于一个无摩擦的水平面上，所以当弹簧被压缩和拉伸时，物体只能前后移动。用\(x\)表示物体到其平衡位置（即弹簧未变形时的位置）的距离。当弹簧被拉伸时，我们取\(x>0\)，而当弹簧被压缩时，\(x<0\)。

根据胡克定律，弹簧对质量块施加的恢复力\(F_S\)与弹簧被拉伸或压缩的距离\(x\)成正比。因为被拉伸或压缩的距离与质量块\(m\)偏离其平衡位置的位移\(x\)相同，由此可得

\[F_S=-kx \tag{1} \]

正比例常数\(k\)被称为弹簧常数。注意\(F_S\)和\(x\)具有相反的符号：当\(x>0\)时，\(F_S<0\)；当\(x<0\)时，\(F_S>0\)。
\(\bigcirc\) 稍后我们将考虑不服从胡克定律的弹簧。

图3.4.1显示了附着在一个阻尼器上的质量块，阻尼器是一种类似于减振器的装置，它提供一个与质量块\(m\)瞬时运动方向相反方向的力。我们假设阻尼器的设计使得这个力\(F_R\)与质量块的速度\(v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\)成正比，也就是说

\[F_R=-cv=-c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\tag{2} \]

常数\(c\)是阻尼器的阻尼常数。更一般地，我们可以将式(2)视作系统中指定的摩擦力（包括质量块\(m\)运动受到的空气阻力）。

如果除了力\(F_S\)和\(F_R\)，质量块还受到一个给定的外力\(F_E=F(t)\)，则作用在质量块上的合力为\(F=F_S+F_R+F_E\)。利用牛顿定律

\[F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=mx'', \]

我们得到控制质量块运动的二阶线性微分方程

\[mx''+cx'+kx=F(t)\tag{3} \]

如果没有阻尼器（并忽略所有的摩擦力），那么我们在方程(3)中设置\(c=0\)，并将该运动称为无阻尼运动；如果\(c>0\)，则称其为有阻尼运动。如果无外力作用，我们将方程(3)中的\(F(t)\)用\(0\)代替。在这种情况下，我们称之为自由运动，而在\(F(t)\neq0\)的情况下，称之为受迫运动。因此齐次方程

\[mx''+cx'+kx=0\tag{4} \]

描述了在没有外力作用的情况下，质量块在有阻尼器的弹簧上的自由运动。我们将在之后的3.6节中讨论受迫运动。

作为另一个例子，如图3.4.2所示，我们可以将质量块连接到弹簧下端，弹簧竖直悬挂在固定支架上。在这种情况下，质量块的重量\(W=mg\)会将弹簧拉伸一个距离\(s_0\)，该距离可由式(1)确定，其中\(F_S=-W\)且\(x=s_0\)。也就是说，\(mg=ks_0\)，所以\(s_0=mg/k\)。由此得到质量块的静态平衡位置。如果用\(y\)表示质量块运动中的位移，从其静态平衡位置向下测量，那么我们要求你在习题9中证明\(y\)满足方程(3)；具体来说，如果我们考虑阻尼力和外力（即除了重力以外的力），证明\(y\)满足下列方程

\[my''+cy'+ky=F(t)\tag{5} \]

单摆

在方程(3)和方程(5)中出现的微分方程的重要性，源于它描述了许多其他简单机械系统的运动。例如，如图3.4.3所示，一个单摆由一个质量块\(m\)在一根长度为\(L\)的细绳（或者更好的是一根无质量的杆）的末端来回摆动组成。我们可以通过给定细绳或杆在\(t\)时刻与竖直线沿逆时针方向所成夹角\(\theta=\theta(t)\)，来指定质量块在\(t\)时刻的位置。为了分析质量块\(m\)的运动，我们将应用机械能守恒定律，根据该定律，质量块\(m\)的动能和势能之和保持不变。

配图标注
图3.4.1 一个质量块-弹簧-阻尼器系统
图3.4.2 一个竖直悬挂在弹簧上的质量块

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左侧

沿着圆弧从\(O\)到\(m\)的距离为\(s=L\theta\)，所以质量块的速度为\(v=\mathrm{d}s/\mathrm{d}t=L(\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t)\)，因此其动能为

\[T=\frac12mv^2=\frac12m\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2=\frac12mL^2\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2。 \]

接下来我们选取质量块可到达的最低点\(O\)作为参考点（参见图3.4.3）。那么其势能\(V\)是其重量\(mg\)与其在\(O\)点以上的竖直高度\(h=L(1-\cos\theta)\)的乘积，所以

\[V=mgL(1-\cos\theta)。 \]

因此，由\(T\)和\(V\)之和为常数\(C\)的事实可得

\[\frac12mL^2\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2+mgL(1-\cos\theta)=C。 \]

我们对等式两边关于\(t\)求导，可得

\[mL^2\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\right)+mgL(\sin\theta)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0， \]

两边同除以\(mL^2(\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t)\)后，则有

\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+\frac{g}{L}\sin\theta=0\tag{6} \]

也可以用我们熟悉的牛顿第二定律\(F=ma\)（应用于质量块的加速度的切向分量和作用于其上的力），以一种看似更基本的方式推导出这个微分方程。然而，基于能量守恒推导微分方程的方法，经常出现在无法直接应用牛顿定律的更复杂情况下，在像摆这样的更简单的应用中，使用能量法可能是有指导意义的。

现在回顾一下，若\(\theta\)很小，则\(\sin\theta\approx\theta\)（这个近似是通过只保留\(\sin\theta\)的泰勒级数的第一项得到的）。事实上，当\(|\theta|\)不超过\(\pi/12\)（即\(15^\circ\)）时，\(\sin\theta\)和\(\theta\)的值到小数点后两位都一致。例如，在一个典型的摆中，\(\theta\)永远不会超过\(15^\circ\)。因此，通过在方程(6)中用\(\theta\)替换\(\sin\theta\)来简化单摆的数学模型似乎是合理的。若我们还插入一项\(c\theta'\)来表示周围介质的摩擦阻力，则得到一个形如式(4)的方程：

\[\theta''+c\theta'+k\theta=0\tag{7} \]

其中\(k=g/L\)。注意这个方程与杆端的质量块\(m\)无关。然而，我们或许可以预测到，\(\sin\theta\)与\(\theta\)之间差异的影响会随着时间累积，使得方程(7)可能无法准确描述摆在长时间内的实际运动。

在本节的剩余部分中，我们首先分析自由无阻尼运动，然后分析自由有阻尼运动。

自由无阻尼运动

若弹簧上只有一个质量块，既无阻尼也无外力，则方程(3)采用更简单的形式

\[mx''+kx=0\tag{8} \]

配图标注
图3.4.3 单摆

右侧

为了方便，定义

\[\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\tag{9} \]

并将方程(8)改写为

\[x''+\omega_0^2x=0\tag{8}' \]

方程\((8')\)的通解为

\[x(t)=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t\tag{10} \]

为了分析这个解所描述的运动，如图3.4.4所示，我们选择常数\(C\)和\(\alpha\)，使得

\[C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \cos\alpha=\frac{A}{C}\quad \text{和}\quad \sin\alpha=\frac{B}{C}\tag{11} \]

注意，尽管\(\tan\alpha=B/A\)，但是角\(\alpha\)并不是由反正切函数的主分支（仅给出区间\(-\pi/2<x<\pi/2\)内的值）得到。反而，\(\alpha\)是\(0\)到\(2\pi\)之间的夹角，其余弦和正弦的符号由式(11)给出，其中\(A\)或\(B\)或者两者都可能为负。因此

\[\alpha= \begin{cases} \tan^{-1}(B/A), & A>0,\ B>0(\text{第一象限}),\\ \pi+\tan^{-1}(B/A), & A<0(\text{第二或第三象限}),\\ 2\pi+\tan^{-1}(B/A), & A>0,\ B<0(\text{第四象限}), \end{cases} \]

其中\(\tan^{-1}(B/A)\)是\((-\pi/2,\pi/2)\)内的角度，可由计算器或计算机得到。

无论如何，由式(10)和式(11)可得

\[x(t)=C\left(\frac{A}{C}\cos\omega_0 t+\frac{B}{C}\sin\omega_0 t\right)=C(\cos\alpha\cos\omega_0 t+\sin\alpha\sin\omega_0 t)。 \]

借助余弦加法公式，我们得到

\[x(t)=C\cos(\omega_0 t-\alpha)\tag{12} \]

因此，质量块以如下参数围绕其平衡位置来回振动：

1. 振幅\(C\)，
2. 圆周频率\(\omega_0\)，
3. 相位角\(\alpha\)。

这种运动被称为简谐运动。

若时间\(t\)以秒为单位测量，则圆周频率\(\omega_0\)的单位为弧度每秒（\(\mathrm{rad/s}\)）。运动的周期是系统完成一次完整振动所需的时间，所以由下式给出

\[T=\frac{2\pi}{\omega_0}\tag{13} \]

配图标注
图3.4.4 角\(\alpha\)

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左侧

单位为秒，其振动频率为

\[\nu=\frac1T=\frac{\omega_0}{2\pi}\tag{14} \]

单位为赫兹（\(\mathrm{Hz}\)），它测量每秒完成的周期数。注意，频率以周期数每秒为单位，而圆周频率则以弧度每秒为单位。

一个简谐位置函数

\[x(t)=C\cos(\omega_0 t-\alpha)=C\cos\left(\omega_0\left(t-\frac{\alpha}{\omega_0}\right)\right)=C\cos(\omega_0(t-\delta)) \]

的典型图形如图3.4.5所示，其中指出了振幅\(C\)、周期\(T\)和时滞

\[\delta=\frac{\alpha}{\omega_0} \]

的几何意义。

若已知质量块的初始位置\(x(0)=x_0\)和初始速度\(x'(0)=v_0\)，我们首先确定式(10)中系数\(A\)和\(B\)的值，然后如前所述，通过将\(x(t)\)转换成式(12)的形式，从而求出振幅\(C\)和相位角\(\alpha\)。

例题1 无阻尼质量块-弹簧系统

一个质量为\(m=\dfrac12\mathrm{kg}\)的物体连接在弹簧末端，弹簧被\(100\mathrm{N}\)的力拉伸了\(2\mathrm{m}\)。它从初始位置\(x_0=1\mathrm{m}\)处以初始速度\(v_0=-5\mathrm{m/s}\)开始运动。（注意，这些初始条件表明，在\(t=0\)时刻，物体的位移向右，开始向左运动。）求出物体的位置函数及其运动的振幅、频率、振动周期和时滞。

解答：
弹簧常数是\(k=(100\mathrm{N})/(2\mathrm{m})=50\mathrm{(N/m)}\)，所以由方程(8)可得\(\dfrac12x''+50x=0\)，即

\[x''+100x=0。 \]

因此，由此产生的物体简谐运动的圆周频率为\(\omega_0=\sqrt{100}=10\ (\mathrm{rad/s})\)。与之对应的振动周期为

\[T=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{10}\approx0.6283\ \mathrm{s}, \]

频率为

\[\nu=\frac1T=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{10}{2\pi}\approx1.5915\ \mathrm{Hz}。 \]

现对位置函数

\[x(t)=A\cos10t+B\sin10t \quad \text{和}\quad x'(t)=-10A\sin10t+10B\cos10t \]

右侧

施加初始条件\(x(0)=1\)和\(x'(0)=-5\)。易得\(A=1\)和\(B=-\dfrac12\)，所以物体的位置函数为

\[x(t)=\cos10t-\frac12\sin10t。 \]

因此其运动的振幅为

\[C=\sqrt{(1)^2+\left(-\frac12\right)^2}=\frac12\sqrt{5}\ \mathrm{m}。 \]

为了求出时滞，我们写成

\[x(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\cos10t-\frac{1}{\sqrt{5}}\sin10t\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\cos(10t-\alpha), \]

其中相位角\(\alpha\)满足

\[\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}>0 \quad \text{和}\quad \sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}<0。 \]

因此\(\alpha\)为第四象限角，即

\[\begin{align*} \alpha&=2\pi+\tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}}\right)\\ &=2\pi-\tan^{-1}\left(\frac12\right)\approx5.8195, \end{align*} \]

而运动的时滞为

\[\delta=\frac{\alpha}{\omega_0}\approx0.5820\ \mathrm{s}。 \]

根据振幅和近似相位角的显式表示，物体的位置函数采用如下形式

\[x(t)\approx\frac12\sqrt{5}\cos(10t-5.8195), \]

其图形如图3.4.6所示。

自由有阻尼运动

在有阻尼但无外力的情况下，我们所研究的微分方程采用形式\(mx''+cx'+kx=0\)；或可写成

\[x''+2px'+\omega_0^2x=0\tag{15} \]

其中\(\omega_0=\sqrt{k/m}\)为对应的无阻尼圆周频率，且有

\[p=\frac{c}{2m}>0\tag{16} \]

方程(15)的特征方程\(r^2+2pr+\omega_0^2=0\)的根

配图标注
图3.4.5 简谐运动
图3.4.6 例题1中位置函数\(x(t)=C\cos(\omega_0 t-\alpha)\)的图形，其中振幅\(C\approx1.118\)，周期\(T\approx0.628\)，时滞\(\delta\approx0.582\)

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左侧

依赖式

\[r_1,\ r_2=-p\pm(p^2-\omega_0^2)^{1/2}\tag{17} \]

\[p^2-\omega_0^2=\frac{c^2}{4m^2}-\frac{k}{m}=\frac{c^2-4km}{4m^2}\tag{18} \]

的符号。

临界阻尼\(c_\mathrm{cr}\)由\(c_\mathrm{cr}=\sqrt{4km}\)给出，并根据\(c>c_\mathrm{cr},\ c=c_\mathrm{cr}\)或\(c<c_\mathrm{cr}\)来区分三种情况。

过阻尼情况：\(c>c_\mathrm{cr}\ (c^2>4km)\)

因为在这种情况下\(c\)比较大，与相对弱的弹簧或较小的质量块相比，我们面对的是强阻力。那么式(17)给出不同实根\(r_1\)和\(r_2\)，并且它们都是负值。此时位置函数有如下形式：

\[x(t)=c_1\mathrm{e}^{r_1 t}+c_2\mathrm{e}^{r_2 t}\tag{19} \]

很容易看出当\(t\to+\infty\)时，\(x(t)\to0\)，即物体稳定到其平衡位置，没有任何振动（参见习题29）。图3.4.7给出了过阻尼情况下位置函数的一些典型图形，我们选择\(x_0\)为一个固定的正数，并显示了改变初始速度\(v_0\)的影响。在每种情况下，潜在的振动都被抑制了。

临界阻尼情况：\(c=c_\mathrm{cr}\ (c^2=4km)\)

在这种情况下，式(17)给出特征方程的相等的根\(r_1=r_2=-p\)，所以通解为

\[x(t)=\mathrm{e}^{-pt}(c_1+c_2 t)\tag{20} \]

因为\(\mathrm{e}^{-pt}>0\)，且\(c_1+c_2 t\)最多有一个正零点，所以物体最多只经过一次平衡位置，并且明显当\(t\to+\infty\)时，\(x(t)\to0\)。图3.4.8显示了临界阻尼情况下一些运动的图形，且它们与过阻尼情况下的图形（图3.4.7）相似。在临界阻尼情况下，阻尼器的阻力刚好大到足以消除任何振动，但即使阻力稍有减小，也会出现剩下的一种情况，即表现出最剧烈行为的情况。

配图标注
图3.4.7 过阻尼运动：\(x(t)=c_1\mathrm{e}^{r_1 t}+c_2\mathrm{e}^{r_2 t}\)，其中\(r_1<0\)且\(r_2<0\)。以相同初始位置\(x_0\)和不同初始速度绘制的解曲线
图3.4.8 临界阻尼运动：\(x(t)=(c_1+c_2 t)\mathrm{e}^{-pt}\)，其中\(p>0\)。以相同初始位置\(x_0\)和不同初始速度绘制的解曲线

右侧

欠阻尼情况：\(c<c_\mathrm{cr}\ (c^2<4km)\)

特征方程现在有两个共轭复根\(-p\pm\mathrm{i}\sqrt{\omega_0^2-p^2}\)，则通解为

\[x(t)=\mathrm{e}^{-pt}(A\cos\omega_1 t+B\sin\omega_1 t)\tag{21} \]

其中

\[\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-p^2}=\frac{\sqrt{4km-c^2}}{2m}\tag{22} \]

如式(12)的推导，利用余弦加法公式，我们可以将式(21)改写为

\[x(t)=C\mathrm{e}^{-pt}\left(\frac{A}{C}\cos\omega_1 t+\frac{B}{C}\sin\omega_1 t\right), \]

所以

\[x(t)=C\mathrm{e}^{-pt}\cos(\omega_1 t-\alpha)\tag{23} \]

其中

\[C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \cos\alpha=\frac{A}{C}\quad \text{和}\quad \sin\alpha=\frac{B}{C}。 \]

式(21)中的解表示物体围绕其平衡位置做指数阻尼振动。\(x(t)\)的图形位于“振幅包络”线\(x=C\mathrm{e}^{-pt}\)和\(x=-C\mathrm{e}^{-pt}\)之间，并且当\(\omega_1 t-\alpha\)为\(\pi\)的整数倍时触及包络线。这种运动实际上并不是周期性的，但称\(\omega_1\)为其圆周频率（更准确地说，是其伪频率），称\(T_1=2\pi/\omega_1\)为其振动伪周期，称\(C\mathrm{e}^{-pt}\)为时变振幅仍然是有用的。这些量中的大多数显示在如图3.4.9所示的欠阻尼振动的典型图形中。由式(22)可知，在这种情况下，\(\omega_1\)小于无阻尼圆周频率\(\omega_0\)，所以\(T_1\)大于相同质量块在同一弹簧上做无阻尼振动的周期\(T\)。因此，阻尼器的作用至少有两个效果：

1. 它根据时变振幅以指数方式抑制振动。
2. 它减慢运动，即阻尼器降低运动的频率。

正如下面的例题所示，与具有相同初始条件的无阻尼运动相比，阻尼通常还会进一步延迟运动，即增加时滞。

例题2 有阻尼质量块-弹簧系统

例题1中的质量块和弹簧现在还连接到一个阻尼器上，阻尼器对每秒每米的速度提供\(1\mathrm{N}\)的阻力。与本节例题1一样，质量块从相同初始位置\(x(0)=1\)处以相同初始速度\(x'(0)=-5\)开始运动。请求出质量块的位置函数、其新频率和运动伪周期、其新时滞及其前四次经过初始位置\(x=0\)的时间。

解答：
与其记住前面讨论中给出的各种公式，不如养成在特定情况下建立微分方程，然后直接求解它的习惯。调用\(m=\dfrac12\)和\(k=50\)，现在已知在\(\mathrm{mks}\)单位制下\(c=1\)。因此，方

配图标注
图3.4.9 欠阻尼振动：\(x(t)=C\mathrm{e}^{-pt}\cos(\omega_1 t-\alpha)\)

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左侧

程(4)变为\(\dfrac12x''+x'+50x=0\)，即

\[x''+2x'+100x=0。 \]

特征方程\(r^2+2r+100=(r+1)^2+99=0\)有根\(r_1,\ r_2=-1\pm\sqrt{99}\mathrm{i}\)，所以通解为

\[x(t)=\mathrm{e}^{-t}(A\cos\sqrt{99}\,t+B\sin\sqrt{99}\,t)\tag{24} \]

因此，新的圆周（伪）频率为\(\omega_1=\sqrt{99}\approx9.9499\)（可与例题1中的\(\omega_0=10\)对比）。新的（伪）周期和频率分别为

\[T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{\sqrt{99}}\approx0.6315\ \mathrm{s} \]

和

\[\nu_1=\frac1{T_1}=\frac{\omega_1}{2\pi}=\frac{\sqrt{99}}{2\pi}\approx1.5836\ \mathrm{Hz} \]

（可与例题1中的\(T\approx0.6283<T_1\)和\(\nu\approx1.5915>\nu_1\)对比）。

我们现在在对式(24)中的位置函数和由此产生的速度函数

\[x'(t)=-\mathrm{e}^{-t}(A\cos\sqrt{99}\,t+B\sin\sqrt{99}\,t)+\sqrt{99}\mathrm{e}^{-t}(-A\sin\sqrt{99}\,t+B\cos\sqrt{99}\,t) \]

施加初始条件\(x(0)=1\)和\(x'(0)=-5\)，可得

\[x(0)=A=1 \quad \text{和}\quad x'(0)=-A+B\sqrt{99}=-5, \]

由此得到\(A=1\)且\(B=-4/\sqrt{99}\)。因此，物体的新位置函数为

\[x(t)=\mathrm{e}^{-t}\left(\cos\sqrt{99}\,t-\frac{4}{\sqrt{99}}\sin\sqrt{99}\,t\right)。 \]

故运动的时变振幅为

\[C_1\mathrm{e}^{-t}=\sqrt{(1)^2+\left(-\frac{4}{\sqrt{99}}\right)^2}\mathrm{e}^{-t}=\sqrt{\frac{115}{99}}\mathrm{e}^{-t}。 \]

因此，我们可以写出

\[\begin{align*} x(t)&=\sqrt{\frac{115}{99}}\mathrm{e}^{-t}\left(\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{115}}\cos\sqrt{99}\,t-\frac{4}{\sqrt{115}}\sin\sqrt{99}\,t\right)\\ &=\sqrt{\frac{115}{99}}\mathrm{e}^{-t}\cos(\sqrt{99}\,t-\alpha_1), \end{align*} \]

其中相位角\(\alpha_1\)满足

\[\cos\alpha_1=\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{115}}>0 \quad \text{和}\quad \sin\alpha_1=-\frac{4}{\sqrt{115}}<0。 \]

因此\(\alpha_1\)是第四象限角，即

\[\begin{align*} \alpha_1&=2\pi+\tan^{-1}\left(\frac{-4/\sqrt{115}}{\sqrt{99}/\sqrt{115}}\right)=2\pi-\tan^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{99}}\right)\approx5.9009, \end{align*} \]

右侧

而运动时滞为

\[\delta_1=\frac{\alpha_1}{\omega_1}\approx0.5931\ \mathrm{s} \]

（可与例题1中的\(\delta\approx0.5820<\delta_1\)对比）。根据时变振幅和近似相位角的显式表示，质量块的位置函数为

\[x(t)\approx\sqrt{\frac{115}{99}}\mathrm{e}^{-t}\cos(\sqrt{99}\,t-5.9009)\tag{25} \]

其图形如图3.4.10所示呈指数衰减（可与例题1中的无阻尼振动进行对比）。

由式(23)可知，当\(\cos(\omega_1 t-\alpha_1)=0\)时，也就是当

\[\omega_1 t-\alpha_1=-\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\cdots, \]

即

\[t=\delta_1-\frac{3\pi}{2\omega_1},\ \delta_1-\frac{\pi}{2\omega_1},\ \delta_1+\frac{\pi}{2\omega_1},\ \delta_1+\frac{3\pi}{2\omega_1},\ \cdots \]

时，质量块经过其平衡位置\(x=0\)。同理可知，对于例题1中无阻尼质量块，当

\[t=\delta_0-\frac{3\pi}{2\omega_0},\ \delta_0-\frac{\pi}{2\omega_0},\ \delta_0+\frac{\pi}{2\omega_0},\ \delta_0+\frac{3\pi}{2\omega_0},\ \cdots \]

时，它经过其平衡位置。下表比较了分别在无阻尼和有阻尼情况下所计算的前四个值\(t_1,t_2,t_3,t_4\)。

\(n\)	1	2	3	4
\(t_n\)(无阻尼)	0.1107	0.4249	0.7390	1.0532
\(t_n\)(有阻尼)	0.1195	0.4352	0.7509	1.0667

因此，在图3.4.11（其中只显示了前三处与平衡位置的交点）中，我们看到有阻尼振动稍微滞后于无阻尼振动。

配图标注
图3.4.10 例题2（有阻尼振动）中位置函数\(x(t)=C_1\mathrm{e}^{-t}\cos(\omega_1 t-\alpha_1)\)
图3.4.11 区间\(0\leq t\leq0.8\)上的图形说明了与阻尼相关的附加延迟：\(x(t)=C_1\mathrm{e}^{-t}\cos(\omega_1 t-\alpha_1)\)（有阻尼）以及包络线\(x=\pm C_1\mathrm{e}^{-t}\)的图形；无阻尼函数\(x(t)=C\cos(\omega_0 t-\alpha)\)