无阻尼单自由度系统的自由振动

无阻尼单自由度系统的自由振动

无阻尼系统的自由振动微分方程为

\[m\ddot{x}(t)+kx(t)=0 \tag{1} \]

设其解具有如下形式

\[x(t)=\bar{x}e^{st} \tag{2} \]

其中\(\bar{x}\)和\(s\)为常量。将上式代入方程(1)得

\[(ms^2+k)\bar{x}=0 \tag{3} \]

若系统的振动位移不恒为零，则有

\[ms^2+k=0 \tag{4} \]

这个以\(s\)为变量的代数方程称为特征方程，它的解\(s_{1,2}=\pm \mathrm{j}\omega_n\)称为特征根，其中

\[\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{5} \]

\(\omega_n\)称为系统的固有圆频率，常简称为固有频率。
在国际单位制下，上式各量的单位分别是\(k\)：牛顿/米（N/m），\(m\)：千克（kg），\(\omega_n\)：弧度/秒（rad/s）。
方程(1)有2个特征解，它们分别为：\(\bar{x}_1 e^{s_1 t}\) 和 \(\bar{x}_2 e^{s_2 t}\)。
根据线性系统的叠加原理，方程(1)的通解为两个特征解的线性叠加。

\[\begin{align*} x(t) &= \bar{x}_1 e^{j\omega_n t}+\bar{x}_2 e^{-j\omega_n t}\\ &=\bar{x}_1\left(\cos\omega_n t+j\sin\omega_n t\right)+\bar{x}_2\left(\cos\omega_n t-j\sin\omega_n t\right)\\ &=\left(\bar{x}_1+\bar{x}_2\right)\cos\omega_n t+j\left(\bar{x}_1-\bar{x}_2\right)\sin\omega_n t \end{align*} \]

令

\[A_1=\bar{x}_1+\bar{x}_2,\quad A_2=j(\bar{x}_1-\bar{x}_2) \]

因\(\bar x_1、\bar x_2\)共轭，\(\bar{x}_1+\bar{x}_2\)、\(j(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\)全部是实数。
经化简后可得

\[x(t) = A_1 \cos \omega_n t + A_2 \sin \omega_n t \tag{6} \]

式中\(A_1\)和\(A_2\)为常数，由系统运动的初始条件来确定。
初始条件是指系统在初始时刻的速度和位移。根据三角公式，式(6)又可写成

\[x(t) = A \sin(\omega_n t + \varphi) \tag{7} \]

式中\(A\)和\(\varphi\)分别称为振幅和初相位，而\(\omega_n t + \varphi\)也总称为相位。