z域映射

一、频点映射数值对照表

基于单自由度系统算例：分析频带 \(\boldsymbol{\omega\in[0,10]\ \mathrm{rad/s}}\)，等效映射步长 \(\boldsymbol{\Delta t=\dfrac{\pi}{10}\approx0.31416\ \mathrm{s}}\)，映射公式 \(\boldsymbol{z_i = e^{-j\omega_i \Delta t}}\)。

| 序号 | 角频率 \(\omega_i\) (rad/s) | 物理频率 \(f_i\) (Hz) | 映射前自变量 \(j\omega_i\) | 映射后复变量 \(z_i\)（实部+虚部） | \(z_i\) 的模 \(|z_i|\) | 备注 |
|:----😐:--------------------------😐:-------------------😐:------------------------😐:--------------------------------😐:------------------😐:----😐
| 1 | 0 | 0.000 | \(0j\) | \(1.0000 + 0.0000j\) | 1.0 | 频带起点 |
| 2 | 2 | 0.318 | \(2j\) | \(0.8090 - 0.5878j\) | 1.0 | 低频段 |
| 3 | 4（共振） | 0.637 | \(4j\) | \(0.3090 - 0.9511j\) | 1.0 | 系统固有频率 |
| 4 | 6 | 0.955 | \(6j\) | \(-0.3090 - 0.9511j\) | 1.0 | 高频段 |
| 5 | 8 | 1.273 | \(8j\) | \(-0.8090 - 0.5878j\) | 1.0 | 高频段 |
| 6 | 10 | 1.592 | \(10j\) | \(-1.0000 + 0.0000j\) | 1.0 | 频带终点 |

核心规律：映射前 \(|j\omega_i|\) 随频率线性增大；映射后所有频点的 \(|z_i|\equiv1\)，全部落在复平面单位圆上。

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二、映射前后方程对比（单自由度标量模型）

对应基础 LSCF 算法，系统二阶模态（\(r=1\)），待拟合参数为多项式系数。

对比维度	映射前（连续 \(j\omega\) 复频域）	映射后（\(z\) 单位圆域，PolyMAX 形式）
自变量	\(s = j\omega\)（纯虚数，沿虚轴分布）	\(z = e^{-j\omega\Delta t}\)（复数，沿单位圆分布）
频响函数模型	$$H(j\omega)=\frac{b_0}{(j\omega)^2 + a_1(j\omega) + a_0}$$ 分母2阶，分子0阶（真分式，分子阶次比分母低2阶）	$$H(z)=\frac{b_0 + b_1 z}{z^2 + a_1 z + a_0}$$ 分母2阶，分子1阶（通用拟合形式，分子阶次比分母低1阶；分母最高次归一为1，消除尺度歧义）
线性化残差方程（LSCF核心）	$$e(\omega_i) = b_0 - \hat{H}_i \cdot \left[(j\omega_i)^2 + a_1(j\omega_i) + a_0\right]$$ 两边乘分母构造线性误差	$$e(z_i) = (b_0 + b_1 z_i) - \hat{H}_i \cdot \left(z_i^2 + a_1 z_i + a_0\right)$$ 形式与左侧完全同源，仅自变量替换为 \(z\)
最小二乘损失函数	$$\ell = \sum_{i=1}^m \left	e(\omega_i)\right
极点求解方式	直接解连续域特征方程： $$s^2 + a_1 s + a_0 = 0$$ 直接得到s域复极点	1. 先解z域特征方程：\(z^2 + a_1 z + a_0 = 0\)，得到z域极点 2. 逆映射回s域：\(\displaystyle s = -\frac{1}{\Delta t}\ln(z)\)
数值特性	高次项 \((j\omega)^k\) 幅值随阶次爆炸，高阶拟合时正规方程严重病态	任意阶次 $
待求参数	\(a_0,\ a_1,\ b_0\)（共3个）	\(a_0,\ a_1,\ b_0,\ b_1\)（共4个，分母最高次归一为1）
适用场景	低阶（1~2阶）模态简易拟合	PolyMAX 工业级高阶、多模态稳定拟合

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三、映射前后方程对比（多参考矩阵分式模型，PolyMAX核心）

对应 PPT 中右矩阵分式（RMF），\(N_i\) 个参考输入，\(N_o\) 个输出，拟合 \(r\) 阶模态。

对比维度	映射前（连续 \(j\omega\) 矩阵分式）	映射后（\(z\) 域矩阵分式，工业PolyMAX）
频响矩阵模型	$$\boldsymbol{H}(j\omega) = \boldsymbol{B}(j\omega) \cdot \boldsymbol{A}(j\omega)^{-1}$$	$$\boldsymbol{H}(z) = \boldsymbol{B}(z) \cdot \boldsymbol{A}(z)^{-1}$$
多项式矩阵展开	分母：\(\displaystyle \boldsymbol{A}(j\omega)=\sum_{k=0}^{2r}\boldsymbol{A}_k (j\omega)^k\) 分子：\(\displaystyle \boldsymbol{B}(j\omega)=\sum_{k=0}^{2r-1}\boldsymbol{B}_k (j\omega)^k\)	分母：\(\displaystyle \boldsymbol{A}(z)=\sum_{k=0}^{2r}\boldsymbol{A}_k z^k\) 分子：\(\displaystyle \boldsymbol{B}(z)=\sum_{k=0}^{2r-1}\boldsymbol{B}_k z^k\)
残差矩阵	$$\boldsymbol{E}(\omega_i) = \hat{\boldsymbol{H}}_i \cdot \boldsymbol{A}(j\omega_i) - \boldsymbol{B}(j\omega_i)$$	$$\boldsymbol{E}(z_i) = \hat{\boldsymbol{H}}_i \cdot \boldsymbol{A}(z_i) - \boldsymbol{B}(z_i)$$
全局损失函数	$$\ell = \sum_{i=1}^m \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{E}_i^H \boldsymbol{E}_i\right)$$	$$\ell = \sum_{i=1}^m \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{E}_i^H \boldsymbol{E}_i\right)$$
极点与参与因子求解	1. \(\det\left(\boldsymbol{A}(s)\right)=0\) 得连续域极点 2. \(\boldsymbol{A}(\lambda_r)\boldsymbol{L}_r=0\) 得参与因子	1. \(\det\left(\boldsymbol{A}(z)\right)=0\) 得z域极点 2. 逆映射回s域得到复极点 3. 零空间求解模态参与因子
核心差异	矩阵元素含 \((j\omega)^k\)，高阶拟合数值不稳定，易出虚假模态	矩阵元素为 \(z^k\)，模恒为1；搭配单位圆正交多项式，几十阶模态也能稳定拟合

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四、关键补充说明

1. z域模型不是严格物理离散化
   PolyMAX 的 \(z\) 域有理多项式是拟合用的基函数，不是通过双线性变换、冲激不变法从连续系统精确离散化得到的；阶次设置为分母 \(2r\)、分子 \(2r-1\)，是为了保证真分式特性和拟合自由度，核心目的是数值稳定。

2. 映射不改变算法本质
   从 \(j\omega\) 到 \(z\) 只是自变量替换，「消去分母→构造线性残差→最小二乘求解」的核心逻辑完全不变，属于工程数值优化，不改变模态识别的物理原理。

3. 可逆性保证参数物理意义
   通过 \(s = -\dfrac{1}{\Delta t}\ln(z)\) 可将z域极点精确映射回连续s域，最终提取的固有频率、阻尼比仍具备明确的物理意义。