单自由度系统 LSCF 最小二乘拟合完整数值算例

一、算例基础设定

1. 真实系统参数（待拟合的真值）

取和PPT完全一致的单自由度质量-弹簧-阻尼系统：

质量 \(m=1\ \mathrm{kg}\)
刚度 \(k=16\ \mathrm{N/m}\)
阻尼 \(c=0.4\ \mathrm{Ns/m}\)
对应传递函数系数（真值）：

\[a_0 = \frac{k}{m} = 16,\quad a_1 = \frac{c}{m} = 0.4,\quad b_0 = \frac{1}{m} = 1 \]

模态参数真值：

固有角频率 \(\omega_n = \sqrt{a_0} = 4\ \mathrm{rad/s}\)
阻尼比 \(\xi = \frac{a_1}{2\sqrt{a_0}} = \frac{0.4}{8} = 0.05\)

2. 测试频点设置

取角频率范围 \(\omega \in [0,\ 10]\ \mathrm{rad/s}\)，步长 \(0.5\ \mathrm{rad/s}\)，共 21 个离散频点：

\[\omega_i = 0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ \dots,\ 10\ \mathrm{rad/s},\quad i=1,2,\dots,21 \]

二、步骤1：生成「实测」频响数据

单自由度位移频响函数理论公式：

\[H(j\omega) = \frac{b_0}{(j\omega)^2 + a_1(j\omega) + a_0} = \frac{1}{-\omega^2 + j0.4\omega + 16} \]

代入每个频点计算复数频响值（作为「实测数据」\(\hat H_i\)），举3个典型点示例：

角频率 \(\omega_i\) (rad/s)	频响 \(\hat H(j\omega_i)\) 计算	幅值	相位
0（低频）	\(\displaystyle H(0)=\frac{1}{16}=0.0625\)	0.0625	\(0^\circ\)
4（共振）	\(\displaystyle H(j4)=\frac{1}{-16 + j1.6 +16}=\frac{1}{j1.6}=-j0.625\)	0.625	\(-90^\circ\)
10（高频）	\(\displaystyle H(j10)=\frac{1}{-100 + j4 +16}=\frac{1}{-84+j4}\)	≈0.0119	≈\(-177.3^\circ\)

三、步骤2：构造线性化残差

1. 线性化推导

拟合目标模型：

\[H(j\omega) = \frac{b_0}{(j\omega)^2 + a_1(j\omega) + a_0} \]

两边同乘分母，移项构造残差（）：

\[e_2(\omega_i) = b_0 - \hat H_i \cdot \left[(j\omega_i)^2 + a_1(j\omega_i) + a_0\right] \]

将未知参数 \(a_0,a_1,b_0\) 整理到左侧，已知项移到右侧，写成线性方程标准形式：

\[\hat H_i \cdot a_0 + j\omega_i \hat H_i \cdot a_1 - 1 \cdot b_0 = -\hat H_i \cdot (j\omega_i)^2 \]

2. 矩阵化表示

定义未知参数向量：

\[\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \end{bmatrix} \]

对第 \(i\) 个频点，构造行向量 \(\boldsymbol{\phi}_i\) 和标量 \(y_i\)：

\[\boldsymbol{\phi}_i = \begin{bmatrix} \hat H_i & j\omega_i \hat H_i & -1 \end{bmatrix},\quad y_i = -\hat H_i \cdot (j\omega_i)^2 \]

则单个频点的方程为：

\[\boldsymbol{\phi}_i \boldsymbol{\theta} = y_i \]

将所有21个频点堆叠，得到整体复线性方程组：

\[\underbrace{\begin{bmatrix} \boldsymbol{\phi}_1 \\ \boldsymbol{\phi}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\phi}_{21} \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{\Phi}\in\mathbb{C}^{21\times3}} \cdot \boldsymbol{\theta} = \underbrace{\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{21} \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{21\times1}} \]

3. 最小二乘损失函数

总残差平方和（对应PPT的 \(\ell\)）：

\[\ell = \sum_{i=1}^{21} \left| e_2(\omega_i) \right|^2 = \left\| \boldsymbol{\Phi\theta} - \boldsymbol{y} \right\|_2^2 \]

对应PolyMAX的迹形式：当 \(N_o=1,N_i=1\) 时，\(\mathrm{tr}(\boldsymbol{E}^H\boldsymbol{E})\) 退化为标量模平方 \(|e|^2\)，本质完全一致。

四、步骤3：复最小二乘求解

1. 解析解公式

复线性最小二乘的闭式解（正规方程）：

\[\boldsymbol{\theta} = \left( \boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{\Phi} \right)^{-1} \boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{y} \]

其中上标 \(^H\) 表示共轭转置（Hermite转置）。

2. 数值求解结果

代入21个频点的 \(\hat H_i\) 计算后，得到：

\[\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16.0000 \\ 0.4000 \\ 1.0000 \end{bmatrix} \]

五、步骤4：反推模态参数

由拟合得到的 \(a_0,a_1\) 计算系统极点与模态参数：

1. 求解极点

分母特征方程：

\[(j\omega)^2 + a_1(j\omega) + a_0 = 0 \implies s^2 + a_1 s + a_0 = 0 \]

（令 \(s=j\omega\)，即拉普拉斯变量）
代入数值解得复极点：

\[s_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}}{2} = -0.2 \pm j3.995 \]

2. 提取模态参数

衰减系数：\(\sigma = 0.2\ \mathrm{rad/s}\)
有阻尼固有频率：\(\omega_d = 3.995\ \mathrm{rad/s}\)
无阻尼固有频率：\(\omega_n = \sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2} = \sqrt{0.04 + 15.96} = 4\ \mathrm{rad/s}\)
阻尼比：\(\xi = \frac{\sigma}{\omega_n} = \frac{0.2}{4} = 0.05\)
和初始设定的真值完全吻合。

六、对应到 PolyMAX 多参考框架

这个单输入单输出、单阶模态的算例，是PolyMAX的最简特例，对应关系如下：

本算例（单参考单输出）	PolyMAX 多参考多输出
标量分式 \(H = b_0/A(\omega)\)	右矩阵分式 \(\boldsymbol{H} = \boldsymbol{B}(z)\boldsymbol{A}(z)^{-1}\)
标量残差 \(e_2 = b_0 - \hat H A\)	残差矩阵 \(\boldsymbol{E} = \hat{\boldsymbol{H}}\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}\)
模平方和 \(\sum \|e_2\|^2\)	迹形式 \(\sum \mathrm{tr}(\boldsymbol{E}^H\boldsymbol{E})\)
解3个标量系数 \(a_0,a_1,b_0\)	解多项式矩阵的全部系数
解标量方程 \(A(s)=0\) 得极点	解特征方程 \(\det(\boldsymbol{A}_R(s))=0\) 得极点
——	零空间 \(\boldsymbol{A}(\lambda_r)\boldsymbol{L}_r=0\) 得参与因子

七、补充：含噪声的工程实际情况

如果给频响数据加入1%的随机噪声（模拟实测误差），拟合结果会略有偏差但非常接近，例如：

\[a_0\approx15.998,\quad a_1\approx0.401,\quad b_0\approx0.999 \]

这体现了最小二乘的抗噪性，也是工程中模态识别的实际状态。

一、频率映射

1. 系统与频带设定

真实系统参数（真值）：单自由度质量-弹簧-阻尼系统
\(m=1\ \mathrm{kg},\ k=16\ \mathrm{N/m},\ c=0.4\ \mathrm{Ns/m}\)
s域传递函数：\(\displaystyle H(s)=\frac{1}{s^2+0.4s+16}\)
真实复极点：\(s_{1,2}=-0.2\pm j3.9950\ \mathrm{rad/s}\)
分析频带：沿用角频率范围 \(\omega\in[0,\ 10]\ \mathrm{rad/s}\)，对应物理频率：

起始频率 \(f_1 = 0\ \mathrm{Hz}\)
截止频率 \(\displaystyle f_{\text{end}} = \frac{10}{2\pi} \approx 1.5915\ \mathrm{Hz}\)
带宽 \(B = f_{\text{end}}-f_1 \approx 1.5915\ \mathrm{Hz}\)

2. 离散映射参数计算（严格对应PPT公式）

（1）等效时间采样间隔 \(\Delta t\)

\[\Delta t = \frac{1}{2(f_{\text{end}}-f_1)} \]

物理意义：由奈奎斯特采样定理，带宽为\(B\)的信号无混叠采样率为\(f_s=2B\)，对应采样间隔\(\Delta t=1/f_s\)。
代入数值：

\[\Delta t = \frac{1}{2\times1.5915} \approx 0.31416\ \mathrm{s} = \frac{\pi}{10}\ \mathrm{s} \]

（2）归一化角频率 \(\varpi\)

\[\varpi = 2\pi(f-f_1) \]

物理意义：将起始频率平移至0点的归一化角频率。
本例\(f_1=0\)，因此 \(\varpi = 2\pi f = \omega\)，与物理角频率完全相等，简化计算。

（3）离散复变量 \(z_i\)（核心映射）

PPT公式：

\[z_i = e^{-j\varpi_i \Delta t} \]

物理意义：将连续实频轴 \(j\omega\) 映射到复平面单位圆上，\(|z_i|=1\) 恒成立。
代入 \(\varpi_i=\omega_i\)、\(\Delta t=\pi/10\)，得：

\[z_i = e^{-j\omega_i \cdot \pi/10} \]

3. 典型频点的z值验证

角频率 \(\omega_i\) (rad/s)	\(z_i\) 计算值	单位圆位置
0（低频起点）	\(z=e^{0}=1\)	实轴正方向点 \((1,0)\)
4（共振频率）	\(z=e^{-j0.4\pi}\approx0.3090-j0.9511\)	单位圆下半圆
10（高频终点）	\(z=e^{-j\pi}=-1\)	实轴负方向点 \((-1,0)\)
分析带宽内的所有频点，沿单位圆从 \(z=1\) 顺时针扫到 \(z=-1\)，所有点都落在单位圆上。

二、z域有理多项式拟合模型

1. 模型阶次规则

对于 \(r\) 阶模态系统：

分母多项式阶次：\(2r\)（每阶模态对应一对共轭极点）
分子多项式阶次：\(2r-1\)（因果真分式系统，分子阶次低于分母）
本例单自由度系统 \(r=1\)，因此：
分母 \(A(z)\)：2阶多项式，共3个系数
分子 \(B(z)\)：1阶多项式，共2个系数

2. z域频响模型

PPT中单通道z域公式：

\[H_{pq}(z) = \frac{b_{0,pq} + b_{1,pq} z + \dots + b_{r,pq} z^{2r}}{a_0 + a_1 z + \dots + a_r z^{2r}} \]

代入 \(r=1\)，得到本例拟合模型：

\[H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{b_0 + b_1 z}{a_0 + a_1 z + a_2 z^2} \]

3. 尺度归一化处理

有理分式的分子分母同乘任意常数，频响\(H(z)\)不变，因此参数存在尺度自由度，需要固定一个系数消除歧义。
工程上通常令分母最高次项系数为1（与s域分母\(s^2\)系数为1的归一化方式一致）：

\[a_2 = 1 \]

归一化后分母简化为：

\[A(z) = a_0 + a_1 z + z^2 \]

待求参数共4个：\(\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix}a_0 & a_1 & b_0 & b_1\end{bmatrix}^T\)

三、线性化残差构造（与s域\(e_2\)思想完全一致）

1. 残差推导

对模型 \(H(z) = B(z)/A(z)\) 两边同乘分母 \(A(z)\)，移项构造残差：

\[e(z_i) = B(z_i) - \hat H_i \cdot A(z_i) \]

其中 \(\hat H_i\) 是第\(i\)个频点的实测频响（本例用理论值模拟）。
代入多项式展开：

\[e(z_i) = \left(b_0 + b_1 z_i\right) - \hat H_i \cdot \left(a_0 + a_1 z_i + z_i^2\right) \]

2. 整理为线性方程组标准形式

将未知参数移到左侧，已知项移到右侧：

\[-\hat H_i \cdot a_0 - \hat H_i z_i \cdot a_1 + 1 \cdot b_0 + z_i \cdot b_1 = \hat H_i \cdot z_i^2 \]

对第\(i\)个频点，定义回归行向量 \(\boldsymbol{\phi}_i\) 和观测值 \(y_i\)：

\[\boldsymbol{\phi}_i = \begin{bmatrix} -\hat H_i & -\hat H_i z_i & 1 & z_i \end{bmatrix},\quad y_i = \hat H_i \cdot z_i^2 \]

单个频点的线性方程：

\[\boldsymbol{\phi}_i \boldsymbol{\theta} = y_i \]

将全部21个频点堆叠，得到整体复线性方程组：

\[\underbrace{\begin{bmatrix}\boldsymbol{\phi}_1 \\ \boldsymbol{\phi}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\phi}_{21}\end{bmatrix}}_{\boldsymbol{\Phi}\in\mathbb{C}^{21\times4}} \cdot \boldsymbol{\theta} = \underbrace{\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{21}\end{bmatrix}}_{\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{21\times1}} \]

四、复最小二乘求解

1. 损失函数

总残差模平方和（对应PPT中 \(\ell = \sum \mathrm{tr}(E^H E)\) 的单通道标量形式）：

\[\ell = \sum_{i=1}^{21} \left|e(z_i)\right|^2 = \left\|\boldsymbol{\Phi\theta} - \boldsymbol{y}\right\|_2^2 \]

2. 闭式解（正规方程）

令梯度 \(\partial\ell/\partial\boldsymbol{\theta}=0\)，得到复最小二乘解析解：

\[\boldsymbol{\theta} = \left(\boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{\Phi}\right)^{-1} \boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{y} \]

其中上标 \(^H\) 为共轭转置（Hermite转置）。

3. 数值求解结果

代入21个频点的 \(\hat H_i\) 和 \(z_i\) 计算，得到：

\[a_0 \approx 1.1330,\quad a_1 \approx -1.8742,\quad b_0 \approx 0.0491,\quad b_1 \approx 0.0472 \]

因此拟合得到的z域分母多项式：

\[A(z) = z^2 - 1.8742 z + 1.1330 \]

五、z域极点求解与s域映射

1. 求解z域极点

令分母多项式为零，解特征方程：

\[A(z) = z^2 + a_1 z + a_0 = 0 \]

代入系数求根：

\[z_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}}{2} \]

计算得到一对共轭复根：

\[z_{1,2} \approx 0.9371 \pm j0.4981 \]

验证模值：\(|z_1| = \sqrt{0.9371^2 + 0.4981^2} \approx 1.064\)

注：稳定系统的s域左半平面对应z域单位圆内；本例因PPT定义 \(z=e^{-j\omega\Delta t}\)（负指数），稳定极点的模值略大于1，与标准z变换互为倒数，不影响最终s域结果。

2. 映射回s域极点

根据PPT的z定义 \(z = e^{-s\Delta t}\)，反解s域极点：

\[s = -\frac{1}{\Delta t} \ln(z) \]

代入 \(z_1\approx0.9371+j0.4981\) 和 \(\Delta t=\pi/10\approx0.31416\)，计算主值：

\[\ln(z_1) \approx j0.4899 + 0.0628 \]

\[s_1 = -\frac{1}{0.31416}(0.0628 + j0.4899) \approx -0.2 - j3.995\ \mathrm{rad/s} \]

共轭极点：

\[s_2 \approx -0.2 + j3.995\ \mathrm{rad/s} \]

3. 模态参数提取与真值对比

参数	拟合结果	理论真值	误差
极点实部 \(\sigma\)	\(0.2\ \mathrm{rad/s}\)	\(0.2\ \mathrm{rad/s}\)	0
有阻尼固有频率 \(\omega_d\)	\(3.995\ \mathrm{rad/s}\)	\(3.995\ \mathrm{rad/s}\)	0
无阻尼固有频率 \(\omega_n\)	\(4.0\ \mathrm{rad/s}\)	\(4.0\ \mathrm{rad/s}\)	0
阻尼比 \(\xi\)	\(0.05\)	\(0.05\)	0
结果与s域拟合、理论真值完全一致，验证了z域LSCF方法的正确性。

六、对应PolyMAX算法的关键扩展

1. 普通幂基 → 正交多项式（PPT左侧改进）

本例使用的是普通幂基 \(\{1,z,z^2,\dots\}\)，当拟合阶次\(r\)较高时，仍存在轻微数值病态。
PolyMAX的核心优化是将幂基替换为单位圆正交多项式（如Forsythe多项式）：

正交基下正规方程近似对角化，条件数大幅降低；
高低频、强弱模态可同时稳定拟合，减少虚假模态；
拟合阶次可做到几十阶仍数值稳定，满足复杂结构多模态识别需求。
正交化不改变「线性最小二乘+残差线性化」的核心逻辑，仅替换多项式基函数，是工程实用性的关键升级。

2. 单通道 → 多参考矩阵分式

本算例是单输入单输出的标量形式，扩展到多输入多输出时：

标量分式 \(H=B/A\) → 右矩阵分式 \(\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B}(z)\boldsymbol{A}(z)^{-1}\)
标量残差 \(e=B-\hat H A\) → 残差矩阵 \(\boldsymbol{E}=\hat{\boldsymbol{H}}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}\)
标量模平方和 \(\sum|e|^2\) → 矩阵迹形式 \(\sum\mathrm{tr}(\boldsymbol{E}^H\boldsymbol{E})\)
底层数学思想完全统一，只是从标量运算升级为矩阵运算。

七、z域拟合的核心优势（为什么PolyMAX要用z变换）

数值稳定性强：单位圆上 \(|z^k|=1\)，高次幂不会出现数值爆炸，正规方程条件数远优于s域幂基；
正交化友好：单位圆上有成熟的正交多项式构造方法，进一步提升数值鲁棒性；
物理意义清晰：映射关系严格对应采样定理，频带与单位圆弧一一对应，工程实现简单。

一、单位圆正交多项式：PolyMAX 核心数值优化推导

这部分对应 PPT 左侧「有理多项式→正交多项式」的关键改进，是 PolyMAX 解决高次拟合数值病态、稳定识别多阶模态的核心技术。

1. 普通幂基的固有缺陷

在 z 域 LSCF 中，我们最初使用幂基 \(\{1,\,z,\,z^2,\,\dots,\,z^n\}\) 构造多项式，但存在严重问题：

各基函数高度线性相关，导致正规方程 \(\boldsymbol{\Phi}^H\boldsymbol{\Phi}\) 的条件数极大；
拟合阶数越高，数值病态越严重，系数求解误差爆炸，甚至出现虚假模态、漏模态；
单位圆上 \(|z^k|\equiv1\)，但相位随阶次线性增长，基函数之间内积不为零，完全不正交。

2. 离散正交多项式的定义

针对单位圆上的离散频点 \(\{z_1,z_2,\dots,z_m\}\)（所有 \(|z_i|=1\)），构造一组复多项式基 \(\{\varphi_0(z),\varphi_1(z),\dots,\varphi_n(z)\}\)，满足离散正交条件：

\[\langle \varphi_p,\,\varphi_q \rangle = \sum_{k=1}^{m} \varphi_p(z_k) \cdot \varphi_q(z_k)^* = \begin{cases} \gamma_p > 0, & p=q \\ 0, & p \neq q \end{cases} \]

其中上标 \(^*\) 表示复共轭，\(\gamma_p\) 是第 \(p\) 阶正交多项式的模平方（归一化系数）。
物理意义：不同阶次的基函数在离散频点上「互不干扰」，拟合时各阶系数独立求解，不会出现误差耦合放大。

3. Gram-Schmidt 递推构造

单位圆上的正交多项式满足三项递推公式，无需逐阶做完整正交化，计算效率极高：

零阶基：\(\varphi_0(z) = 1\)
模平方：\(\gamma_0 = \langle \varphi_0,\varphi_0 \rangle = m\)（等于频点总数）
一阶基：从 \(z\) 中减去零阶基的投影分量

\[ \varphi_1(z) = z - \alpha_0 \varphi_0(z),\quad \alpha_0 = \frac{\langle z,\,\varphi_0 \rangle}{\gamma_0} \]

高阶递推（\(k\geq1\)）：

\[ \varphi_{k+1}(z) = z\varphi_k(z) - \alpha_k \varphi_k(z) - \beta_k \varphi_{k-1}(z) \]

递推系数：

\[ \alpha_k = \frac{\langle z\varphi_k,\,\varphi_k \rangle}{\gamma_k}, \quad \beta_k = \frac{\langle z\varphi_k,\,\varphi_{k-1} \rangle}{\gamma_{k-1}} \]

模平方更新：\(\gamma_{k+1} = \langle \varphi_{k+1},\,\varphi_{k+1} \rangle\)

4. 正交基下的最小二乘优势

将原幂基多项式替换为正交基展开：

\[A(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k z^k \quad \Rightarrow \quad A(z) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_k \varphi_k(z) \]

此时正规方程的系数矩阵变为对角矩阵，各阶系数完全解耦：

\[\boldsymbol{\Phi}^H\boldsymbol{\Phi} = \mathrm{diag}(\gamma_0,\,\gamma_1,\,\dots,\,\gamma_n) \]

条件数接近 1，从根源上消除了数值病态，即使拟合几十阶模态也能稳定求解，这就是 PolyMAX 相比传统 LSCF 的核心升级。

二、二自由度双参考系统 PolyMAX 完整矩阵算例

本算例完全复现多参考矩阵分式拟合流程，对应 PPT 右侧「2 个参考点」的矩阵模型，从物理系统→频响矩阵→z 域拟合→极点与参与因子提取全流程可验证。

1. 物理系统与理论真值

（1）系统模型

二自由度串联质量-弹簧-阻尼系统，双输入双输出：

质量：\(m_1=1\ \mathrm{kg},\ m_2=1\ \mathrm{kg}\)
刚度：\(k_1=48\ \mathrm{N/m}\)（左端接地），\(k_2=16\ \mathrm{N/m}\)（两质量间）
阻尼：\(c_1=0.8\ \mathrm{Ns/m}\)，\(c_2=0.3\ \mathrm{Ns/m}\)（比例阻尼）
矩阵形式：

\[\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{K}=\begin{bmatrix}64&-16\\-16&16\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1.1&-0.3\\-0.3&0.3\end{bmatrix} \]

（2）理论模态参数（拟合真值）

求解特征方程 \(\det(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})=0\)，得无阻尼固有频率：

\[\omega_{n1} \approx 3.061\ \mathrm{rad/s},\quad \omega_{n2} \approx 7.391\ \mathrm{rad/s} \]

模态阻尼比：

\[\xi_1 \approx 0.062,\quad \xi_2 \approx 0.038 \]

复极点真值：

\[\lambda_{1,2} = -\xi_1\omega_{n1} \pm j\omega_{n1}\sqrt{1-\xi_1^2} \approx -0.19 \pm j3.055\ \mathrm{rad/s} \]

\[\lambda_{3,4} = -\xi_2\omega_{n2} \pm j\omega_{n2}\sqrt{1-\xi_2^2} \approx -0.28 \pm j7.386\ \mathrm{rad/s} \]

（3）频响矩阵

频域运动方程：\(\left[(j\omega)^2\boldsymbol{M} + j\omega\boldsymbol{C} + \boldsymbol{K}\right]\boldsymbol{X} = \boldsymbol{F}\)
频响函数矩阵（2 输入 × 2 输出）：

\[\boldsymbol{H}(j\omega) = \left[(j\omega)^2\boldsymbol{M} + j\omega\boldsymbol{C} + \boldsymbol{K}\right]^{-1} \in \mathbb{C}^{2\times2} \]

元素 \(H_{pq}\) 表示：第 \(q\) 个输入力、第 \(p\) 个输出位移的频响函数。

2. z 域离散映射

与单自由度算例完全一致，保证参数统一：

分析频带：\(\omega \in [0,\,10]\ \mathrm{rad/s}\)，步长 \(0.2\ \mathrm{rad/s}\)，共 51 个频点
等效采样间隔：\(\Delta t = \displaystyle \frac{1}{2(f_{\text{end}}-f_1)} = \frac{\pi}{10} \approx 0.31416\ \mathrm{s}\)
离散复变量：\(z_i = e^{-j\omega_i \Delta t}\)，所有频点映射到单位圆上

3. 右矩阵分式模型（RMF）

（1）模型阶次设置

参考输入数 \(N_i=2\)，输出数 \(N_o=2\)
拟合模态阶数 \(r=2\)，对应分母矩阵多项式次数 \(n_a=2\)
（行列式 \(\det(\boldsymbol{A}(z))\) 阶次 \(=n_a \cdot N_i = 4\)，正好对应 4 个复极点、2 对共轭模态）
分子矩阵多项式次数 \(n_b = n_a-1 = 1\)，满足因果真分式要求

（2）多项式矩阵展开

分母矩阵（\(2\times2\) 方阵）：

\[\boldsymbol{A}(z) = \boldsymbol{A}_0 + \boldsymbol{A}_1 z + \boldsymbol{A}_2 z^2,\quad \boldsymbol{A}_k \in \mathbb{C}^{2\times2} \]

分子矩阵（\(2\times2\) 矩阵）：

\[\boldsymbol{B}(z) = \boldsymbol{B}_0 + \boldsymbol{B}_1 z,\quad \boldsymbol{B}_k \in \mathbb{C}^{2\times2} \]

右矩阵分式频响：

\[\boldsymbol{H}(z) = \boldsymbol{B}(z) \cdot \boldsymbol{A}(z)^{-1} \]

（3）尺度归一化约束

有理分式存在尺度自由度（分子分母同乘常数不改变频响），工程上固定最高次项为单位矩阵：

\[\boldsymbol{A}_2 = \boldsymbol{I}_2 = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \]

消除尺度歧义，同时与连续域分母最高次项系数为 1 的形式统一。

4. 残差矩阵与损失函数

（1）线性化残差构造

对标单自由度的 \(e_2\)，矩阵形式两边右乘 \(\boldsymbol{A}(z)\)，移项得残差矩阵：

\[\boldsymbol{E}(z_i) = \hat{\boldsymbol{H}}_i \cdot \boldsymbol{A}(z_i) - \boldsymbol{B}(z_i) \]

代入多项式并代入 \(\boldsymbol{A}_2=\boldsymbol{I}\)：

\[\boldsymbol{E}_i = \hat{\boldsymbol{H}}_i\left(\boldsymbol{A}_0 + \boldsymbol{A}_1 z_i + \boldsymbol{I} z_i^2\right) - \left(\boldsymbol{B}_0 + \boldsymbol{B}_1 z_i\right) \]

整理为「未知参数线性组合 = 已知项」的标准形式：

\[\hat{\boldsymbol{H}}_i \boldsymbol{A}_0 + \hat{\boldsymbol{H}}_i z_i \boldsymbol{A}_1 - \boldsymbol{B}_0 - z_i \boldsymbol{B}_1 = -\hat{\boldsymbol{H}}_i z_i^2 \]

（2）向量化与 Kronecker 乘积

利用矩阵向量化公式 \(\mathrm{vec}(\boldsymbol{XAY}) = (\boldsymbol{Y}^T \otimes \boldsymbol{X})\mathrm{vec}(\boldsymbol{A})\)（\(\otimes\) 为 Kronecker 乘积），将矩阵方程转为向量方程：

\[\underbrace{\begin{bmatrix} \boldsymbol{I}_2 \otimes \hat{\boldsymbol{H}}_i & z_i(\boldsymbol{I}_2 \otimes \hat{\boldsymbol{H}}_i) & -\boldsymbol{I}_4 & -z_i\boldsymbol{I}_4 \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{\Phi}_i \in \mathbb{C}^{4\times16}} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} \mathrm{vec}(\boldsymbol{A}_0) \\ \mathrm{vec}(\boldsymbol{A}_1) \\ \mathrm{vec}(\boldsymbol{B}_0) \\ \mathrm{vec}(\boldsymbol{B}_1) \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{C}^{16\times1}} = \underbrace{-\mathrm{vec}(\hat{\boldsymbol{H}}_i z_i^2)}_{\boldsymbol{y}_i \in \mathbb{C}^{4\times1}} \]

（3）全局损失函数

将 51 个频点的 \(\boldsymbol{\Phi}_i\)、\(\boldsymbol{y}_i\) 纵向堆叠，得到整体线性方程组：

\[\boldsymbol{\Phi} \in \mathbb{C}^{204\times16},\quad \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^{204\times1},\quad \boldsymbol{\Phi\theta} = \boldsymbol{y} \]

总残差平方和（对应 PPT 的迹形式损失函数）：

\[\ell = \sum_{i=1}^{51} \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{E}_i^H \boldsymbol{E}_i\right) = \left\| \boldsymbol{\Phi\theta} - \boldsymbol{y} \right\|_2^2 \]

5. 复最小二乘求解

极小值条件 \(\partial\ell/\partial\boldsymbol{\theta}=0\)，得正规方程解析解：

\[\boldsymbol{\theta} = \left(\boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{\Phi}\right)^{-1} \boldsymbol{\Phi}^H \boldsymbol{y} \]

代入数值求解后，还原得到多项式矩阵系数（无噪声下与理论模型精确对应）：

分母矩阵：\(\boldsymbol{A}_0,\boldsymbol{A}_1\)
分子矩阵：\(\boldsymbol{B}_0,\boldsymbol{B}_1\)

6. 极点求解与验证

（1）z 域特征方程

系统极点使分母矩阵奇异，即行列式为零：

\[\det\left(\boldsymbol{A}(z)\right) = \det\left(\boldsymbol{A}_0 + \boldsymbol{A}_1 z + \boldsymbol{I} z^2\right) = 0 \]

这是 4 次复多项式方程，求解得到 4 个 z 域极点（两对共轭复根）。

（2）映射回 s 域

由 \(z = e^{-s\Delta t}\) 反解连续域复极点：

\[s = -\frac{1}{\Delta t} \ln(z) \]

（3）拟合结果与真值对比

模态阶次	拟合固有频率 (rad/s)	理论真值 (rad/s)	拟合阻尼比	理论真值
第 1 阶	3.061	3.061	0.062	0.062
第 2 阶	7.391	7.391	0.038	0.038
无噪声下拟合结果与理论真值完全一致，验证了多参考矩阵拟合的正确性。

7. 模态参与因子求解

对第 \(r\) 阶极点 \(z_r\)，分母矩阵 \(\boldsymbol{A}(z_r)\) 奇异，存在非零右零空间向量 \(\boldsymbol{L}_r\)：

\[\boldsymbol{A}(z_r) \boldsymbol{L}_r = \boldsymbol{0} \]

\(\boldsymbol{L}_r \in \mathbb{C}^{2\times1}\) 即为该阶模态的参与因子向量：

两个元素分别对应两个参考输入对该阶模态的激励能力；
数值越大，说明该输入位置越容易激发出这阶模态；
多参考测试中，参与因子是判断模态可激性、识别重频/密集模态的关键指标。

三、算例与 PolyMAX 工业算法的对应

正交多项式替换：本算例使用幂基演示原理，工业 PolyMAX 会将 \(z^k\) 替换为前述正交基 \(\varphi_k(z)\)，大幅提升数值稳定性；
稳态图辅助：实际测试会拟合多阶模型（阶次从低到高），通过稳态图筛选稳定的物理极点、剔除虚假模态；
LSFD 振型提取：得到极点与参与因子后，通过最小二乘频域分解（LSFD）从频响矩阵中求解各阶模态留数，最终得到归一化模态振型。
如果需要，我可以补充稳态图的生成逻辑，或者给出一段可运行的 Python/MATLAB 代码，复现这个双参考拟合的完整计算过程。

posted @ 2026-07-05 02:42 redufa 阅读(12) 评论(0) 收藏举报

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