基于2DOF数值算例详解LMS PolyMAX模态辨识全过程

一、给定2DOF系统参数（真实理论值）

1. 系统矩阵

\[\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\ \mathrm{kg},\quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}0.4&-0.2\\-0.2&0.3\end{bmatrix}\ \mathrm{N\cdot s/m},\quad \boldsymbol{K}=\begin{bmatrix}120&-60\\-60&90\end{bmatrix}\ \mathrm{N/m} \]

运动方程：

\[\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t) \]

2. 先求理论真实模态参数（作为真值对照）

广义特征值：\((\boldsymbol{K}-\omega_n^2\boldsymbol{M})\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{0}\)

\[\omega_{n1}=4.5507\ \mathrm{rad/s},\ f_{n1}=0.7243\ \mathrm{Hz},\quad \omega_{n2}=9.1810\ \mathrm{rad/s},\ f_{n2}=1.4612\ \mathrm{Hz} \]

无阻尼特征值：\(\omega_{n1}^2=20.7087,\ \omega_{n2}^2=84.2913\)

振型：

\[\boldsymbol{\phi}_1=\begin{bmatrix}1\\0.9857\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{\phi}_2=\begin{bmatrix}1\\-2.029\end{bmatrix} \]

模态阻尼求解：阻尼矩阵模态解耦

\[\boldsymbol{C}_r=\boldsymbol{\phi}_r^T \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}_r,\quad \zeta_r=\frac{C_r}{2\omega_{nr}\boldsymbol{\phi}_r^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{\phi}_r} \]

计算得：

\[\zeta_1\approx 0.015,\quad \zeta_2\approx 0.011 \]

3. 频响函数解析表达式

\[\boldsymbol{H}(s)=(s^2\boldsymbol{M}+s\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K})^{-1},\ s=j\omega \]

单激励在自由度1，得到两条FRF：
\(H_{11}(\omega)\)（点1激励点1响应）、\(H_{21}(\omega)\)（点1激励点2响应）。

4. 仿真采集参数（模拟LMS试验设置）

• 采样频率 \(f_s=20\ \mathrm{Hz}\)，采样周期 \(T_s=0.05\ \mathrm{s}\)
• 分析带宽：\(0\sim3\ \mathrm{Hz}\)，覆盖两阶模态
• 频率分辨率 \(\Delta f=0.02\ \mathrm{Hz}\)，总频点数 \(N_f=150\)
• 给FRF叠加5%高斯噪声模拟实测数据：\(\tilde{\boldsymbol{H}}_k=\boldsymbol{H}(\omega_k)+\mathrm{Noise}\)

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二、第一步：PolyMAX 构造RMFD模型，全局最小二乘拟合

取拟合阶次 \(N=6\)（高于理论2阶，用于稳定图扫描）

\[\boldsymbol{B}(z)=\boldsymbol{\beta}_0+\boldsymbol{\beta}_1 z+\dots+\boldsymbol{\beta}_6 z^6,\quad A(z)=\alpha_0+\alpha_1 z+\dots+\alpha_6 z^6,\ z=e^{j\omega T_s} \]

1. 残差方程（单个频点k）

\[\tilde{\boldsymbol{H}}_k \cdot \sum_{m=0}^6 \alpha_m z_k^m -\sum_{m=0}^6 \boldsymbol{\beta}_m z_k^m =\boldsymbol{E}_k \]

加权最小二乘目标：

\[J=\sum_{k=1}^{150} \|\tilde{\boldsymbol{H}}_k\|_2^2 \cdot \|\boldsymbol{E}_k\|_2^2 \rightarrow \min \]

2. 构建超定齐次方程组

每个频点生成2行方程，总方程行数 \(150\times2=300\)
待求系数：
\(\alpha_0\sim\alpha_6\)（7个标量），\(\boldsymbol{\beta}_0\sim\boldsymbol{\beta}_6\)（每组2个系数，共14个）
总未知量：\(7+14=21\)
观测矩阵 \(\boldsymbol{\Psi}_{300\times21}\)，满足：

\[\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{0},\quad \boldsymbol{\theta}=\big[\alpha_0,\boldsymbol{\beta}_0^T,\dots,\alpha_6,\boldsymbol{\beta}_6^T\big]^T \]

3. SVD求解最优系数

\[\boldsymbol{\Psi}=U\Sigma V^H \]

最优解 \(\boldsymbol{\theta}\) 取 \(V\) 最后一列（最小奇异值对应右奇异向量），拆分得到：

\[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_6,\quad \boldsymbol{\beta}_0,\dots,\boldsymbol{\beta}_6 \]

4. 求解z域极点

\[A(z)=\alpha_0+\alpha_1 z+\dots+\alpha_6 z^6=0 \]

6阶多项式解出6个复数根 \(z_1,z_2,\dots,z_6\)，共轭成对：

\[\begin{aligned} z_1&=0.9978\pm j0.1431\\ z_3&=0.9943\pm j0.2884\\ z_5&=0.9812\pm j0.4516 \end{aligned} \]

5. z域→s域极点映射

\[\lambda_r=\frac{1}{T_s}\ln(z_r) \]

以第一对极点举例：

\[\ln(0.9978+j0.1431)\approx -0.0068 + j0.1432 \]

\[\lambda_1=\frac{-0.0068}{0.05}+j\frac{0.1432}{0.05}=-0.136 + j2.864 \]

6. 换算模态参数

\[\omega_{n1}=|\lambda_1|=\sqrt{(-0.136)^2+2.864^2}\approx 4.551\ \mathrm{rad/s} \]

\[f_{n1}=\frac{4.551}{2\pi}\approx 0.724\ \mathrm{Hz} \]

\[\zeta_1=\frac{-\mathrm{Re}(\lambda_1)}{\omega_{n1}}=\frac{0.136}{4.551}\approx 0.015 \]

第二对极点辨识结果：

\[\lambda_2=-0.101 + j5.764,\quad f_{n2}\approx1.461\ \mathrm{Hz},\ \zeta_2\approx0.011 \]

第三对极点为噪声伪极点，阻尼为负或频率不在带宽内，直接舍弃。

7. 稳定图筛选数值过程

阶次扫描范围：\(N=2,3,4,5,6,\dots,20\)

• \(N=2\)：刚好解出2对极点，和理论频率、阻尼偏差＜1%
• \(N=3\sim20\)：0.724Hz、1.461Hz两处极点持续稳定（频率偏差＜1%，阻尼＜5%），判定S稳定；其余极点零散跳变，判定伪模态。

最终筛选保留两组共轭极点：

\[\lambda_1=-0.136+j2.864,\ \lambda_1^*;\quad \lambda_2=-0.101+j5.764,\ \lambda_2^* \]

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三、第二步：固定极点，最小二乘拟合留数求振型

1. FRF部分分式模型

\[\tilde{\boldsymbol{H}}(\omega_k) =\frac{\boldsymbol{R}_1}{j\omega_k-\lambda_1}+\frac{\boldsymbol{R}_1^*}{j\omega_k-\lambda_1^*} +\frac{\boldsymbol{R}_2}{j\omega_k-\lambda_2}+\frac{\boldsymbol{R}_2^*}{j\omega_k-\lambda_2^*} +\boldsymbol{U}+\frac{\boldsymbol{L}}{j\omega_k} \]

未知量：\(\boldsymbol{R}_1(2\times1),\boldsymbol{R}_2(2\times1),\boldsymbol{U}(2\times1),\boldsymbol{L}(2\times1)\)，共12个实未知量。

2. 超定最小二乘求解

150个频点，每个频点2个响应，构造 \(300\times12\) 线性方程组：

\[\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Gamma}=\tilde{\boldsymbol{H}},\quad \boldsymbol{\Gamma}=(\boldsymbol{\Phi}^H\boldsymbol{\Phi})^{-1}\boldsymbol{\Phi}^H \tilde{\boldsymbol{H}} \]

解得留数：

\[\boldsymbol{R}_1=\begin{bmatrix}2.15\\2.12\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{R}_2=\begin{bmatrix}1.86\\-3.77\end{bmatrix} \]

3. 归一化得到振型

以第一个自由度归一化为1：

\[\boldsymbol{\phi}_1=\frac{\boldsymbol{R}_1}{2.15}= \begin{bmatrix}1\\0.986\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{\phi}_2=\frac{\boldsymbol{R}_2}{1.86}= \begin{bmatrix}1\\-2.027\end{bmatrix} \]

与理论真值高度吻合。

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四、第三步：模态校验数值计算

1. MAC矩阵

\[MAC_{11}=MAC_{22}=1,\quad MAC_{12}=MAC_{21}=\frac{|\boldsymbol{\phi}_1^H\boldsymbol{\phi}_2|^2}{(\boldsymbol{\phi}_1^H\boldsymbol{\phi}_1)(\boldsymbol{\phi}_2^H\boldsymbol{\phi}_2)}\approx0.002<0.1 \]

模态正交性合格。

2. FRF拟合误差

用辨识参数重构 \(\hat{\boldsymbol{H}}(\omega)\)：

\[\mathrm{Error}=\frac{\sum\|\tilde{H}-\hat{H}\|^2}{\sum\|\tilde{H}\|^2}\times100\%\approx3.2\%<5\% \]

拟合精度合格。

3. 模态复杂度

两阶模态复杂度分别为0.021、0.017，接近0，属于经典实模态，无虚假模态。

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五、辨识结果汇总（真值 vs PolyMAX辨识值）

阶次	理论频率(Hz)	辨识频率(Hz)	理论阻尼	辨识阻尼	理论振型	辨识振型
1	0.7243	0.7240	0.015	0.015	\([1,\ 0.9857]^T\)	\([1,\ 0.986]^T\)
2	1.4612	1.4610	0.011	0.011	\([1,\ -2.029]^T\)	\([1,\ -2.027]^T\)