单自由度系统频响函数详细推导
单自由度系统频响函数详细推导（无阻尼 + 粘滞有阻尼）
一、单自由度无阻尼系统频响函数推导
1. 建立时域运动微分方程
质量块 \(m\)、弹簧刚度 \(k\)，忽略阻尼，受简谐激励 \(f(t)\)：
\[m\ddot{x}+kx=f(t)
\]
定义无阻尼固有角频率：
\[\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} \quad \Rightarrow \quad k=m\omega_n^2
\]
2. 简谐激励频域变换
设稳态简谐激励与位移响应：
\[f(t)=F e^{\mathrm{j}\omega t},\quad x(t)=X e^{\mathrm{j}\omega t}
\]
对位移求一、二阶导数：
\[\dot{x}=\mathrm{j}\omega X e^{\mathrm{j}\omega t},\quad \ddot{x}=(\mathrm{j}\omega)^2 X e^{\mathrm{j}\omega t}=-\omega^2 X e^{\mathrm{j}\omega t}
\]
3. 代入时域方程得到频域代数方程
将位移、激励代入微分方程，两边约去公共项 \(e^{\mathrm{j}\omega t}\)：
\[-m\omega^2 X + kX = F
\]
整理得：
\[\left(k-m\omega^2\right)X=F
\]
4. 直接形式频响函数定义
频响函数 \(H(\mathrm{j}\omega)\) 定义为稳态位移响应幅值与激励力幅值之比：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{X}{F}
\]
因此：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{k-m\omega^2}=\frac{1}{m\left(\omega_n^2-\omega^2\right)}
\]
5. 极点-留数形式（部分分式分解）
无阻尼系统一对纯虚共轭极点：
\[p=\mathrm{j}\omega_n,\quad p^*=-\mathrm{j}\omega_n
\]
对频响函数做部分分式展开：
\[\begin{align*}
H(\mathrm{j}\omega)
&=\frac{1}{m\left(\omega_n^2-\omega^2\right)}
=\frac{1}{m\left(\omega_n-\mathrm{j}\omega\right)\left(\omega_n+\mathrm{j}\omega\right)}\\
&=\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_n}\left( \frac{1}{\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}\omega_n} - \frac{1}{\mathrm{j}\omega+\mathrm{j}\omega_n} \right)
\end{align*}
\]
写成标准极点-留数形式：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{R}{\mathrm{j}\omega-p}+\frac{R^*}{\mathrm{j}\omega-p^*}
\]
其中留数 \(R=\displaystyle\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_n}\)，\(R^*\) 为共轭留数。
6. 幅频、相频特性
幅值：
\[|H(\omega)|=\frac{1}{\left|k-m\omega^2\right|}=\frac{1}{m\left|\omega_n^2-\omega^2\right|}
\]
相位：
\[\varphi(\omega)=
\begin{cases}
0^\circ,\quad &\omega<\omega_n\\
180^\circ,\quad &\omega>\omega_n
\end{cases}
\]
\(\omega=\omega_n\) 时发生共振，幅值趋于无穷大。
二、单自由度粘滞有阻尼系统频响函数详细推导
1. 建立带粘滞阻尼的时域运动方程
阻尼力与速度成正比：\(f_d=-c\dot{x}\)，运动微分方程：
\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f(t)
\]
定义：
- 固有角频率：\(\displaystyle\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
- 模态阻尼比：\(\displaystyle\zeta=\frac{c}{2m\omega_n} \Rightarrow c=2\zeta m\omega_n\)
2. 简谐激励频域代入
依旧设 \(f(t)=F e^{\mathrm{j}\omega t},\ x(t)=X e^{\mathrm{j}\omega t}\)，求导后代入方程：
\[-m\omega^2 X + \mathrm{j}\omega c X + k X = F
\]
3. 整理得到频域动刚度形式
\[\left(k-m\omega^2+\mathrm{j}\omega c\right)X=F
\]
频响函数：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{X}{F}=\frac{1}{k-m\omega^2+\mathrm{j}\omega c}
\]
4. 标准化为阻尼比形式
将 \(k=m\omega_n^2、c=2\zeta m\omega_n\) 代入，分子分母同除以 \(m\)：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{m\left(\omega_n^2-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta\omega_n \omega\right)}
\]
令频率比 \(\lambda=\displaystyle\frac{\omega}{\omega_n}\)，可写成经典形式：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{k\left(1-\lambda^2+\mathrm{j}2\zeta\lambda\right)}
\]
5. 特征方程与共轭复极点
自由振动时 \(f(t)=0\)，设解 \(x=\Psi e^{pt}\)，代入得特征方程：
\[mp^2+cp+k=0
\]
求解一元二次方程：
\[p=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}=-\zeta\omega_n \pm \mathrm{j}\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
\]
定义有阻尼固有角频率 \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，得到一对共轭复极点：
\[p=-\zeta\omega_n+\mathrm{j}\omega_d,\quad p^*=-\zeta\omega_n-\mathrm{j}\omega_d
\]
- 极点负实部：表征振动衰减速率；
- 虚部：有阻尼固有频率。
6. 极点-留数标准形式频响
对频响函数做部分分式分解：
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{R}{\mathrm{j}\omega-p}+\frac{R^*}{\mathrm{j}\omega-p^*}
\]
其中模态留数：
\[R=\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_d},\quad R^*=-\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_d}
\]
7. 幅频特性与相频特性
- 幅值：
\[|H(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\left(k-m\omega^2\right)^2+\left(\omega c\right)^2}}
=\frac{1}{m\sqrt{\left(\omega_n^2-\omega^2\right)^2+\left(2\zeta\omega_n \omega\right)^2}}
\]
- 相位：
\[\varphi(\omega)=-\arctan\left( \frac{2\zeta\omega_n \omega}{\omega_n^2-\omega^2} \right)
\]
阻尼抑制共振幅值，共振点相位恒为 \(-90^\circ\)。
三、单自由度两种频响形式汇总
| 系统类型 | 微分方程 | 频响函数标准式 | 极点形式 |
|---|---|---|---|
| 无阻尼 | \(m\ddot{x}+kx=f(t)\) | \(\displaystyle H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{m(\omega_n^2-\omega^2)}\) | 纯虚共轭极点 \(p=\pm\mathrm{j}\omega_n\) |
| 粘滞有阻尼 | \(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f(t)\) | \(\displaystyle H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{m\left(\omega_n^2-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta\omega_n \omega\right)}\) | 带衰减共轭复极点 \(p=-\zeta\omega_n\pm\mathrm{j}\omega_d\) |
单自由度频响函数数值算例（无阻尼 + 粘滞有阻尼）
一、系统参数设置
取：
质量 \(m=1\ \mathrm{kg}\)，弹簧刚度 \(k=1000\ \mathrm{N/m}\)，粘滞阻尼系数 \(c=10\ \mathrm{N\cdot s/m}\)
基础参数计算
- 无阻尼固有角频率
\[\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{1}}\approx31.6228\ \mathrm{rad/s}
\]
- 模态阻尼比
\[\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{10}{2\times1\times31.6228}\approx0.1581
\]
- 有阻尼固有角频率
\[\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\approx31.6228\times\sqrt{1-0.1581^2}\approx31.2236\ \mathrm{rad/s}
\]
二、无阻尼单自由度系统计算
1. 运动微分方程
\[\ddot{x}+1000x=f(t)
\]
2. 频响函数表达式
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{k-m\omega^2}=\frac{1}{1000-\omega^2}
\]
3. 极点（纯虚共轭极点）
\[p=\mathrm{j}\omega_n=\mathrm{j}31.6228,\quad p^*=-\mathrm{j}31.6228
\]
4. 极点-留数形式展开
\[\begin{align*}
H(\mathrm{j}\omega)
&=\frac{1}{1\times(31.6228^2-\omega^2)}
=\frac{1}{(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}31.6228)(-\mathrm{j})(\mathrm{j}\omega+\mathrm{j}31.6228)}\\
&=\frac{R}{\mathrm{j}\omega-p}+\frac{R^*}{\mathrm{j}\omega-p^*}
\end{align*}
\]
其中留数：
\[R=\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_n}=\frac{1}{2\mathrm{j}\times1\times31.6228}\approx-0.01581\mathrm{j},\quad R^*=0.01581\mathrm{j}
\]
5. 典型频率点幅值示例
- 低频：\(\omega=0\ \mathrm{rad/s}\)
\[|H|=\frac{1}{1000}=0.001\ \mathrm{m/N}
\]
- 接近共振：\(\omega=30\ \mathrm{rad/s}\)
\[|H|=\frac{1}{|1000-900|}=0.01\ \mathrm{m/N}
\]
- 共振处 \(\omega=\omega_n\)：\(|H|\to\infty\)
三、粘滞有阻尼单自由度系统计算
1. 运动微分方程
\[\ddot{x}+10\dot{x}+1000x=f(t)
\]
2. 频响函数原始形式
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{1000-\omega^2+\mathrm{j}10\omega}
\]
3. 标准化阻尼比形式
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{1\times\left(31.6228^2-\omega^2+\mathrm{j}\times2\times0.1581\times31.6228\cdot\omega\right)}
\]
4. 共轭复极点
\[\begin{align*}
p&=-\zeta\omega_n+\mathrm{j}\omega_d=-0.1581\times31.6228+\mathrm{j}31.2236\approx-5+\mathrm{j}31.2236\\
p^*&=-5-\mathrm{j}31.2236
\end{align*}
\]
5. 极点-留数形式
\[H(\mathrm{j}\omega)=\frac{R}{\mathrm{j}\omega-p}+\frac{R^*}{\mathrm{j}\omega-p^*}
\]
留数：
\[R=\frac{1}{2\mathrm{j}m\omega_d}\approx\frac{1}{2\mathrm{j}\times31.2236}\approx-0.01602\mathrm{j},\quad R^*=0.01602\mathrm{j}
\]
6. 典型频率点幅频、相频计算
（1）\(\omega=0\)（静态）
\[|H|=\frac{1}{1000}=0.001\ \mathrm{m/N},\quad \varphi=0^\circ
\]
（2）共振频率 \(\omega=\omega_n=31.6228\ \mathrm{rad/s}\)
\[|H|=\frac{1}{c\omega_n}=\frac{1}{10\times31.6228}\approx0.00316\ \mathrm{m/N},\quad \varphi=-90^\circ
\]
（3）\(\omega=50\ \mathrm{rad/s}\)（高于共振）
\[|H|=\frac{1}{\sqrt{(1000-2500)^2+(10\times50)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1500^2+500^2}}\approx0.000632\ \mathrm{m/N}
\]
相位：
\[\varphi=-\arctan\left(\frac{500}{-1500}\right)\approx-161.57^\circ
\]
四、有无阻尼结果对比
| 工况 | 极点类型 | 共振幅值 | 共振相位 |
|---|---|---|---|
| 无阻尼 | 纯虚极点 \(\pm\mathrm{j}31.6228\) | 无穷大 | \(0^\circ\) 跳变 \(180^\circ\) |
| 粘滞有阻尼 | 衰减复极点 \(-5\pm\mathrm{j}31.2236\) | \(0.00316\ \mathrm{m/N}\) | \(-90^\circ\) |
浙公网安备 33010602011771号