二自由度系统频响函数详细推导（无阻尼 + 粘滞有阻尼）
二自由度系统频响函数详细推导（无阻尼 + 粘滞有阻尼）
一、二自由度无阻尼系统频响函数推导
步骤1：建立时域动力学方程
两自由度集中参数系统：
质量矩阵、刚度矩阵：
\[\boldsymbol{M}=
\begin{bmatrix}
m_1 & 0 \\
0 & m_2
\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{K}=
\begin{bmatrix}
k_1+k_2 & -k_2 \\
-k_2 & k_2
\end{bmatrix}
\]
无阻尼运动微分方程：
\[\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t)
\]
展开标量形式：
\[\begin{cases}
m_1 \ddot{x}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2 x_2=f_1(t)\\
m_2 \ddot{x}_2-k_2 x_1+k_2 x_2=f_2(t)
\end{cases}
\]
步骤2：简谐激励下频域变换
设简谐激励与位移稳态解：
\[\boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{F}e^{\mathrm{j}\omega t},\quad \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{X}e^{\mathrm{j}\omega t}
\]
求导：
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\mathrm{j}\omega \boldsymbol{X}e^{\mathrm{j}\omega t},\quad \ddot{\boldsymbol{x}}=-\omega^2 \boldsymbol{X}e^{\mathrm{j}\omega t}
\]
代入时域方程，约去 \(e^{\mathrm{j}\omega t}\)：
\[\left(\boldsymbol{K}-\omega^2 \boldsymbol{M}\right)\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F}
\]
步骤3：定义动刚度矩阵 & 频响函数矩阵
动刚度矩阵：
\[\boldsymbol{Z}(\omega)=\boldsymbol{K}-\omega^2 \boldsymbol{M}
\]
频响函数（位移/力）为动刚度的逆矩阵：
\[\boldsymbol{H}(\omega)=\boldsymbol{Z}^{-1}(\omega)=\left(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}\right)^{-1}
\]
根据二阶矩阵求逆公式：\(\boldsymbol{A}^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}\mathrm{adj}(\boldsymbol{A})\)
- 行列式：
\[\begin{align*}
\det(\boldsymbol{Z})
&=\det\left(
\begin{bmatrix}
k_1+k_2-m_1\omega^2 & -k_2 \\
-k_2 & k_2-m_2\omega^2
\end{bmatrix}
\right)\\
&=(k_1+k_2-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-k_2^2
\end{align*}
\]
- 伴随矩阵：
\[\mathrm{adj}(\boldsymbol{Z})=
\begin{bmatrix}
k_2-m_2\omega^2 & k_2 \\
k_2 & k_1+k_2-m_1\omega^2
\end{bmatrix}
\]
- 频响矩阵各元素：
\[\begin{align*}
H_{11}(\omega)&=\frac{k_2-m_2\omega^2}{\det(\boldsymbol{Z})},\quad H_{12}(\omega)=\frac{k_2}{\det(\boldsymbol{Z})}\\
H_{21}(\omega)&=\frac{k_2}{\det(\boldsymbol{Z})},\quad H_{22}(\omega)=\frac{k_1+k_2-m_1\omega^2}{\det(\boldsymbol{Z})}
\end{align*}
\]
步骤4：无阻尼实模态叠加形式推导
（1）求解无阻尼固有频率与实振型
自由振动特征方程：
\[\det\left(\boldsymbol{K}-\omega_n^2 \boldsymbol{M}\right)=0
\]
解得2阶固有频率 \(\omega_{n1},\omega_{n2}\)，对应两组实振型向量：
\[\boldsymbol{\varphi}_1=\begin{bmatrix}\varphi_{11}\\ \varphi_{21}\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\varphi}_2=\begin{bmatrix}\varphi_{12}\\ \varphi_{22}\end{bmatrix}
\]
（2）模态正交性与模态质量
实振型关于 \(\boldsymbol{M}、\boldsymbol{K}\) 正交：
\[\boldsymbol{\varphi}_r^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varphi}_s=
\begin{cases}
m_r & r=s\\
0 & r\ne s
\end{cases},\quad
\boldsymbol{\varphi}_r^\mathrm{T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\varphi}_s=
\begin{cases}
m_r \omega_{nr}^2 & r=s\\
0 & r\ne s
\end{cases}
\]
\(m_r\) 为第 \(r\) 阶模态质量。
（3）坐标变换：物理坐标→模态坐标
令 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}\)，\(\boldsymbol{\Phi}=[\boldsymbol{\varphi}_1,\boldsymbol{\varphi}_2]\) 为振型矩阵，\(\boldsymbol{q}\) 为模态坐标。
代入频域方程左乘 \(\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}\)，利用正交性解耦：
\[\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}\boldsymbol{F}
\]
得到解耦的单自由度形式：
\[m_r\left(\omega_{nr}^2-\omega^2\right)Q_r=\boldsymbol{\varphi}_r^\mathrm{T}\boldsymbol{F},\quad r=1,2
\]
（4）还原物理位移，得到模态叠加频响
单点 \(j\) 激励、\(i\) 响应：仅 \(F_j\ne0\)，其余激励为0
\[X_i=\varphi_{i1}Q_1+\varphi_{i2}Q_2
=\frac{\varphi_{i1}\varphi_{j1}F_j}{m_1(\omega_{n1}^2-\omega^2)}
+\frac{\varphi_{i2}\varphi_{j2}F_j}{m_2(\omega_{n2}^2-\omega^2)}
\]
由频响定义 \(h_{ij}=\displaystyle\frac{X_i}{F_j}\)：
\[\boldsymbol{h_{ij}(\omega)=\frac{\varphi_{i1}\varphi_{j1}}{m_1(\omega_{n1}^2-\omega^2)}+\frac{\varphi_{i2}\varphi_{j2}}{m_2(\omega_{n2}^2-\omega^2)}}
\]
步骤5：无阻尼极点-留数形式
无阻尼极点为纯虚共轭极点：\(p_1=\mathrm{j}\omega_{n1},\,p_1^*=-\mathrm{j}\omega_{n1};\;p_2=\mathrm{j}\omega_{n2},\,p_2^*=-\mathrm{j}\omega_{n2}\)
对单阶分式做部分分式分解：
\[\frac{\varphi_{ik}\varphi_{jk}}{m_k(\omega_{nk}^2-\omega^2)}
=\frac{q_k \varphi_{ik}\varphi_{jk}}{\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}\omega_{nk}}
+\frac{q_k^* \varphi_{ik}\varphi_{jk}}{\mathrm{j}\omega+\mathrm{j}\omega_{nk}}
\]
二自由度下极点留数频响：
\[h_{ij}(\mathrm{j}\omega)=
\left(
\frac{q_1 \varphi_{i1}\varphi_{j1}}{\mathrm{j}\omega-p_1}+\frac{q_1^* \varphi_{i1}\varphi_{j1}}{\mathrm{j}\omega-p_1^*}
\right)
+\left(
\frac{q_2 \varphi_{i2}\varphi_{j2}}{\mathrm{j}\omega-p_2}+\frac{q_2^* \varphi_{i2}\varphi_{j2}}{\mathrm{j}\omega-p_2^*}
\right)
\]
二、二自由度粘滞有阻尼系统频响函数详细推导
步骤1：有阻尼时域动力学方程
阻尼矩阵：
\[\boldsymbol{C}=
\begin{bmatrix}
c_1+c_2 & -c_2 \\
-c_2 & c_2
\end{bmatrix}
\]
运动方程：
\[\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t)
\]
步骤2：频域方程
简谐激励代入求导：
\[\left(-\omega^2 \boldsymbol{M}+\mathrm{j}\omega \boldsymbol{C}+\boldsymbol{K}\right)\boldsymbol{X}=\boldsymbol{F}
\]
复动刚度矩阵：
\[\boldsymbol{Z}(\mathrm{j}\omega)=\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}+\mathrm{j}\omega \boldsymbol{C}
\]
频响函数：
\[\boldsymbol{H}(\mathrm{j}\omega)=\boldsymbol{Z}^{-1}(\mathrm{j}\omega)=\left(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}+\mathrm{j}\omega \boldsymbol{C}\right)^{-1}
\]
可直接用二阶矩阵求逆得到解析表达式。
步骤3：齐次方程求复极点（特征值）
自由振动 \(\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\)，设解 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Psi}e^{pt}\)，代入运动方程：
\[\left(p^2 \boldsymbol{M}+p\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K}\right)\boldsymbol{\Psi}=\boldsymbol{0}
\]
非零解条件（特征方程）：
\[\det\left(p^2 \boldsymbol{M}+p\boldsymbol{C}+\boldsymbol{K}\right)=0
\]
二自由度系统为4阶代数方程，解得两对共轭复极点：
\[\begin{cases}
p_1=-\zeta_1 \omega_{n1}+\mathrm{j}\omega_{d1},\quad p_1^*=-\zeta_1 \omega_{n1}-\mathrm{j}\omega_{d1}\\
p_2=-\zeta_2 \omega_{n2}+\mathrm{j}\omega_{d2},\quad p_2^*=-\zeta_2 \omega_{n2}-\mathrm{j}\omega_{d2}
\end{cases}
\]
\(\omega_{dk}=\omega_{nk}\sqrt{1-\zeta_k^2}\)：有阻尼固有角频率；\(\zeta_k\)：模态阻尼比。
每个极点对应复振型 \(\boldsymbol{\psi}_1、\boldsymbol{\psi}_2\)，共轭极点对应共轭复振型 \(\boldsymbol{\psi}_1^*、\boldsymbol{\psi}_2^*\)。
步骤4：复模态正交性
对于一般非比例粘滞阻尼，复振型满足加权正交：
\[\boldsymbol{\psi}_r^\mathrm{T}\left(p_s^2 \boldsymbol{M}+p_s \boldsymbol{C}+\boldsymbol{K}\right)\boldsymbol{\psi}_s=
\begin{cases}
Q_r & r=s\\
0 & r\ne s
\end{cases}
\]
\(Q_r\) 为模态归一化系数，用于定义模态留数 \(q_r\)。
步骤5：复模态坐标展开
任意位移向量用全部复振型线性叠加：
\[\boldsymbol{X}(\mathrm{j}\omega)=\alpha_1 \boldsymbol{\psi}_1+\alpha_1^* \boldsymbol{\psi}_1^*+\alpha_2 \boldsymbol{\psi}_2+\alpha_2^* \boldsymbol{\psi}_2^*
\]
\(\alpha_k\) 为复模态坐标，代入频域方程，利用正交性解耦得：
\[\alpha_k=\frac{\boldsymbol{\psi}_k^\mathrm{T}\boldsymbol{F}}{\mathrm{j}\omega-p_k} q_k
\]
步骤6：单点激励下推导极点-留数频响
\(j\) 点施加激励 \(F_j\)，\(i\) 点观测位移 \(X_i\)：
\[X_i=\sum_{k=1}^2\left(
\frac{q_k \psi_{ik}\psi_{jk} F_j}{\mathrm{j}\omega-p_k}
+\frac{q_k^* \psi_{ik}^*\psi_{jk}^* F_j}{\mathrm{j}\omega-p_k^*}
\right)
\]
由频响定义 \(h_{ij}=\displaystyle\frac{X_i}{F_j}\)，得到二自由度复模态极点-留数标准形式：
\[\boldsymbol{h_{ij}(\mathrm{j}\omega)=\sum_{k=1}^{2}\left(
\frac{q_k \psi_{ik}\psi_{jk}}{\mathrm{j}\omega-p_k}
+\frac{q_k^* \psi_{ik}^*\psi_{jk}^*}{\mathrm{j}\omega-p_k^*}
\right)}
\]
步骤7：特例：比例阻尼（瑞利阻尼）简化
当 \(\boldsymbol{C}=\alpha \boldsymbol{M}+\beta \boldsymbol{K}\)（比例阻尼）：
复振型退化为实振型 \(\boldsymbol{\psi}_k=\boldsymbol{\varphi}_k\)，共轭项可以合并，最终简化为实模态频响：
\[\boldsymbol{h_{ij}(\mathrm{j}\omega)=\frac{\varphi_{i1}\varphi_{j1}}{m_1\left(\omega_{n1}^2-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta_1\omega_{n1}\omega\right)}
+\frac{\varphi_{i2}\varphi_{j2}}{m_2\left(\omega_{n2}^2-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta_2\omega_{n2}\omega\right)}}
\]
三、二自由度两种频响形式总结
| 系统类型 | 频响直接矩阵形式 | 模态叠加形式 | 极点特征 |
|---|---|---|---|
| 无阻尼 | \(\boldsymbol{H}(\omega)=\left(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}\right)^{-1}\) | \(\displaystyle h_{ij}=\sum_{k=1}^2 \frac{\varphi_{ik}\varphi_{jk}}{m_k(\omega_{nk}^2-\omega^2)}\) | 纯虚共轭极点，实振型 |
| 一般粘滞阻尼 | \(\boldsymbol{H}(\mathrm{j}\omega)=\left(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}+\mathrm{j}\omega\boldsymbol{C}\right)^{-1}\) | \(\displaystyle h_{ij}=\sum_{k=1}^2\left(\frac{q_k \psi_{ik}\psi_{jk}}{\mathrm{j}\omega-p_k}+\frac{q_k^* \psi_{ik}^*\psi_{jk}^*}{\mathrm{j}\omega-p_k^*}\right)\) | 带衰减共轭复极点，复振型 |
| 比例粘滞阻尼 | 同上 | \(\displaystyle h_{ij}=\sum_{k=1}^2 \frac{\varphi_{ik}\varphi_{jk}}{m_k(\omega_{nk}^2-\omega^2+\mathrm{j}2\zeta_k\omega_{nk}\omega)}\) | 带衰减共轭复极点，实振型 |
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