6

以下是提取的公式及对应序号：

6.2 基于线弹性的应力集中

椭圆孔方程：\(\frac{x^{2}}{c^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（6.2.1）
曲率半径：\(\rho=\frac{b^{2}}{c}\)（6.2.2）
应力解：\(\sigma_{yy}(x=\pm c, y=0)=\sigma_{\infty}\left(1+\frac{2c}{b}\right)\)（6.2.3）
应力解（改写）：\(\sigma_{yy}(x=\pm c, y=0)=\sigma_{\infty}\left(1+2\sqrt{\frac{c}{\rho}}\right)\)（6.2.4）
应力集中系数：\(K_{\mathrm{t}}=\frac{\sigma_{yy}(x=\pm c, y=0)}{\sigma_{\infty}}=1+2\sqrt{\frac{c}{\rho}}\)（6.2.5）
圆孔归一化径向应力：\(\tilde{\sigma}_{r}=\frac{\sigma_{r}}{\sigma_{\infty}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{\cos 2\theta}{2}\left(\frac{3a^{4}}{r^{4}}-\frac{4a^{2}}{r^{2}}+1\right)\)（6.2.6）
圆孔归一化切向应力：\(\tilde{\sigma}_{r\theta}=\frac{\sigma_{r\theta}}{\sigma_{\infty}}=-\frac{\sin 2\theta}{2}\left(\frac{3a^{4}}{r^{4}}-\frac{2a^{2}}{r^{2}}-1\right)\)（6.2.7）
圆孔归一化周向应力：\(\tilde{\sigma}_{\theta\theta}=\frac{\sigma_{\theta\theta}}{\sigma_{\infty}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)+\frac{\cos 2\theta}{2}\left(\frac{3a^{4}}{r^{4}}+1\right)\)（6.2.8）

6.3 格里菲斯的脆性材料断裂理论

潜能：\(\Phi=-\frac{\sigma^{2}}{2E}V-\frac{\sigma^{2}c^{2}}{\pi E}t\)（6.3.1）
单位裂纹面积能量释放率：\(-\frac{\partial \Phi}{\partial A_{c}}=-\frac{1}{2t}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}c}=\frac{\pi\sigma^{2}c}{E}\)（6.3.2）
断裂条件：\(-\frac{\partial \Phi}{\partial A_{c}}=\frac{\pi\sigma^{2}c}{E}=2\gamma\)（6.3.3）
断裂应力：\(\sigma_{\mathrm{f}}=\sqrt{\frac{2\gamma E}{\pi c}}\)（6.3.4）

6.4 基于线弹性断裂力学（LEFM）的断裂参数

平面问题平衡方程1：\(\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta}+\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r}=0\)（6.4.1）
平面问题平衡方程2：\(\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta}+\frac{2\sigma_{rr}}{r}=0\)（6.4.2）
裂纹面应力边界条件：当\(\theta=\pm\pi\)时，\(\sigma_{\theta\theta}=\sigma_{r\theta}=0\)（6.4.3）
协调方程：\(\left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}}\right)(\sigma_{rr}+\sigma_{\theta\theta})=0\)（6.4.4）
应力分函数（\(r,\theta\)）：\(\sigma_{rr}=Cr^{\lambda}\tilde{\sigma}_{rr}(\theta)\)（6.4.5）；\(\sigma_{\theta\theta}=Cr^{\lambda}\tilde{\sigma}_{\theta\theta}(\theta)\)（6.4.6）；\(\sigma_{r\theta}=Cr^{\lambda}\tilde{\sigma}_{r\theta}(\theta)\)（6.4.7）
I型应力强度因子定义：\(K_{\mathrm{I}}=\lim_{r\rightarrow0}\sqrt{2\pi r}\sigma_{\theta\theta}(r,\theta=0)\)（6.4.8）
II型应力强度因子定义：\(K_{\mathrm{II}}=\lim_{r\rightarrow0}\sqrt{2\pi r}\sigma_{r\theta}(r,\theta=0)\)（6.4.9）
I型渐近应力（周向）：\(\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\cos^{3}\frac{\theta}{2}}{2}\)（6.4.10）
I型渐近应力（径向）：\(\sigma_{rr}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{2}\left(1+\sin^{2}\frac{\theta}{2}\right)\)（6.4.11）
I型渐近应力（切向）：\(\sigma_{r\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\sin\frac{\theta}{2}\cos^{2}\frac{\theta}{2}}{2}\)（6.4.12）
II型渐近应力（周向）：\(\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{II}}}{\sqrt{2\pi r}}\left(-3\sin\frac{\theta}{2}\cos^{2}\frac{\theta}{2}\right)\)（6.4.13）
II型渐近应力（径向）：\(\sigma_{rr}=\frac{K_{\mathrm{II}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{2}\left(1-3\sin^{2}\frac{\theta}{2}\right)\)（6.4.14）
II型渐近应力（切向）：\(\sigma_{r\theta}=\frac{K_{\mathrm{II}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{2}\left(1-3\sin^{2}\frac{\theta}{2}\right)\)（6.4.15）
III型应力强度因子定义：\(K_{\mathrm{III}}=\lim_{r\rightarrow0}\sqrt{2\pi r}\sigma_{r\theta}(r,\theta=0)\)（6.4.16）
III型渐近应力（切向）：\(\sigma_{r\theta}=\frac{K_{\mathrm{III}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{2}\)（6.4.18）
III型渐近应力（径向）：\(\sigma_{rr}=\frac{K_{\mathrm{III}}}{\sqrt{2\pi r}}\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{2}\)（6.4.17）
\(K_{\mathrm{I}}\)量纲：\(\left[K_{\mathrm{I}}\right]=\frac{[F]^{1/2}}{[L]}[L]^{1/2}\)（6.4.19）
二维无限体中心裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=\sigma\sqrt{\pi a}\)（6.4.20）
二维半无限体边缘裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=1.12\sigma\sqrt{\pi a}\)（6.4.21）
三维无限体圆盘状裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=\frac{2}{\pi}\sigma\sqrt{\pi a}\)（6.4.22）
有限尺寸裂纹板\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=F(\alpha)S_{\mathrm{g}}\sqrt{\pi a}\)（6.4.23）
拉伸中心裂纹板\(S_{\mathrm{g}}\)：\(S_{\mathrm{g}}=\frac{P}{2bt}\)（6.4.24）
拉伸中心裂纹板\(F(\alpha)\)：\(F(\alpha)=\frac{1-0.5\alpha+0.326\alpha^{2}}{\sqrt{1-\alpha}}\)（\(h/b\geq1.5\)）（6.4.25）
拉伸边缘裂纹板\(S_{\mathrm{g}}\)：\(S_{\mathrm{g}}=\frac{P}{bt}\)（6.4.26）
拉伸边缘裂纹板\(F(\alpha)\)：\(F(\alpha)=0.265(1-\alpha)^{4}+\frac{0.857+0.265\alpha}{(1-\alpha)^{3/2}}\)（\(h/b\geq1.0\)）（6.4.27）
弯曲边缘裂纹板\(S_{\mathrm{g}}\)：\(S_{\mathrm{g}}=\frac{6M}{b^{2}t}\)（6.4.28）
弯曲边缘裂纹板\(F(\alpha)\)：\(F(\alpha)=\sqrt{\frac{2}{\pi\alpha}}\tan\frac{\pi\alpha}{2}\left[\frac{0.923+0.199\left(1-\sin\frac{\pi\alpha}{2}\right)^{4}}{\cos\frac{\pi\alpha}{2}}\right]\)（6.4.29）
孔萌生小裂纹\(K_{\mathrm{A}}\)：\(K_{\mathrm{A}}=1.12K_{\mathrm{t}}S\sqrt{\pi l}\)（6.4.30）
孔萌生大裂纹\(K_{\mathrm{B}}\)：\(K_{\mathrm{B}}=FS\sqrt{\pi a}\)（6.4.31）
孔萌生裂纹\(K\)：\(K=F(d)S\sqrt{\pi l}\)（6.4.32）
孔萌生裂纹\(F(d)\)：\(F(d)=0.5(3-d)\left[1+1.243(1-d)^{3}\right]\)（6.4.33）
孔萌生裂纹\(d\)：\(d=\frac{l}{a}=\frac{l}{c+l}\)（6.4.34）
非奇异裂纹尖端渐近场：\(\sigma_{ij}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\tilde{\sigma}_{ij}^{\mathrm{I}}(\theta)+\frac{K_{\mathrm{II}}}{\sqrt{2\pi r}}\tilde{\sigma}_{ij}^{\mathrm{II}}(\theta)+\frac{K_{\mathrm{III}}}{\sqrt{2\pi r}}\tilde{\sigma}_{ij}^{\mathrm{III}}(\theta)+\delta_{i1}\delta_{j1}T+\delta_{i2}\delta_{j2}T+\delta_{i3}\delta_{j3}S+\cdots\)（6.4.35）
双轴应力下\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=\sigma\sqrt{\pi a}\)（6.4.36）
\(T\)应力与\(K_{\mathrm{I}}\)关系：\(\frac{T}{K_{\mathrm{I}}}=\frac{R-1}{\sqrt{\pi a}}\)（6.4.37）
\(T\)应力简化：\(T=\sigma(R-1)\)（6.4.38）
圆盘状裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)：\(K_{\mathrm{I}}=\frac{2}{\pi}S\sqrt{\pi a}\)（6.4.39）
矩形杆拉伸\(S_{\mathrm{t}}\)：\(S_{\mathrm{t}}=\frac{P}{2bt}\)（6.4.40）
矩形杆弯曲\(S_{\mathrm{b}}\)：\(S_{\mathrm{b}}=\frac{3M}{bt^{2}}\)（6.4.41）
矩形杆小表面裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)（拉伸）：\(K_{\mathrm{I}}=0.728S_{\mathrm{t}}\sqrt{\pi a}\)（6.4.42）
矩形杆小表面裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)（弯曲）：\(K_{\mathrm{I}}=0.728S_{\mathrm{b}}\sqrt{\pi a}\)（6.4.43）
圆棒拉伸\(S_{\mathrm{t}}\)：\(S_{\mathrm{t}}=\frac{4P}{\pi d^{2}}\)（6.4.44）
圆棒弯曲\(S_{\mathrm{b}}\)：\(S_{\mathrm{b}}=\frac{32M}{\pi d^{3}}\)（6.4.45）
圆棒小表面裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)（拉伸）：\(K_{\mathrm{I}}=0.728S_{\mathrm{t}}\sqrt{\pi a}\)（6.4.46）
圆棒小表面裂纹\(K_{\mathrm{I}}\)（弯曲）：\(K_{\mathrm{I}}=0.728S_{\mathrm{b}}\sqrt{\pi a}\)（6.4.47）
椭圆形裂纹\(K\)：\(K=S\sqrt{\frac{\pi a}{Q}}f_{\phi}\)（6.4.48）
椭圆形裂纹\(f_{\phi}\)：\(f_{\phi}=\left[\left(\frac{a}{c}\right)^{2}\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi\right]^{1/4}\)（\(\frac{a}{c}\leq1\)）（6.4.49）
椭圆形裂纹\(\sqrt{Q}\)：\(\sqrt{Q}=E(k)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\beta}\mathrm{d}\beta\)（6.4.50）
椭圆形裂纹\(k^{2}\)：\(k^{2}=1-\left(\frac{a}{c}\right)^{2}\)（6.4.51）
椭圆形裂纹\(\sqrt{Q}\)近似：\(\sqrt{Q}=E(k)\approx\left[1+1.464\left(\frac{a}{c}\right)^{1.65}\right]^{1/2}\)（6.4.52）
椭圆形裂纹\(K_{\mathrm{D}}\)（D点）：\(K_{\mathrm{D}}=S\frac{\sqrt{\pi a}}{E(k)}\)（6.4.53）
椭圆形裂纹\(K_{\mathrm{E}}\)（E点）：\(K_{\mathrm{E}}=S\frac{\sqrt{\pi a}}{E(k)}\sqrt{\frac{a}{c}}\)（6.4.54）

6.5 线弹性断裂力学（LEFM）塑性区域的尺寸和要求

面外切应力：\(\sigma_{xz}=\sigma_{yz}=0\)（6.5.1）
平面应力面外正应力：\(\sigma_{zz}=0\)（6.5.2）
裂纹尖端正应力（\(\theta=0\)）：\(\sigma_{rr}=\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\)（6.5.3）
裂纹尖端切应力（\(\theta=0\)）：\(\sigma_{r\theta}=0\)（6.5.4）
米塞斯屈服准则：\(\sigma_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left[(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta})^{2}+(\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{zz})^{2}+(\sigma_{zz}-\sigma_{rr})^{2}\right]\)（6.5.5）
平面应力屈服准则（\(\theta=0\)）：\(\sigma_{0}^{2}=\sigma_{\theta\theta}^{2}\)（6.5.6）
平面应力I型裂纹屈服：\(\sigma_{\theta\theta}=\sigma_{0}\)（6.5.7）
平面应力塑性区域尺寸（\(r=r_{0\mathrm{y}}\)）：\(\sigma_{0}=\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r_{0\mathrm{y}}}}\)（6.5.8）
平面应力塑性区域尺寸（整理）：\(r_{0\mathrm{y}}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.9）
理想弹塑性材料塑性区域尺寸：\(2r_{0\mathrm{y}}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.10）
平面应变面外正应力：\(\sigma_{zz}=\nu(\sigma_{rr}+\sigma_{\theta\theta})\)（6.5.11）
平面应变裂纹尖端正应力（\(\theta=0\)）：\(\sigma_{rr}=\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r}}\)（6.5.12）
平面应变\(\sigma_{zz}\)：\(\sigma_{zz}=2\nu\sigma_{\theta\theta}\)（6.5.13）
平面应变屈服准则（\(\theta=0\)）：\(\sigma_{0}^{2}=\left[(1-2\nu)\sigma_{\theta\theta}\right]^{2}\)（6.5.14）
平面应变I型裂纹屈服：\(\sigma_{0}=(1-2\nu)\sigma_{\theta\theta}\)（6.5.15）
平面应变\(\sigma_{\theta\theta}\)：\(\sigma_{\theta\theta}=\frac{1}{1-2\nu}\sigma_{0}\)（6.5.16）
平面应变塑性区域尺寸（\(r=r_{0\mathrm{y}}\)）：\(\frac{\sigma_{0}}{1-2\nu}=\sigma_{\theta\theta}=\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sqrt{2\pi r_{0\mathrm{y}}}}\)（6.5.17）
平面应变塑性区域尺寸（整理）：\(r_{0\mathrm{y}}=\frac{(1-2\nu)^{2}}{2\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.18）
理想弹塑性材料平面应变塑性区域尺寸：\(2r_{0\mathrm{y}}=\frac{(1-2\nu)^{2}}{\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.19）
欧文（Irwin）塑性区域尺寸：\(r_{0\mathrm{y}}=\frac{1}{6\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.20）；\(2r_{0\mathrm{y}}=\frac{1}{3\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.21）
圆柱坐标系米塞斯屈服准则：\(\sigma_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left[(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta})^{2}+(\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{zz})^{2}+(\sigma_{zz}-\sigma_{rr})^{2}\right]+3\sigma_{r\theta}^{2}\)（6.5.22）
平面应力塑性区域尺寸（随\(\theta\)变化）：\(r_{\mathrm{p}}(\theta)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\left[\frac{1}{2}(1+\cos\theta)+\frac{3}{4}\sin^{2}\theta\right]\)（6.5.23）
平面应变塑性区域尺寸（随\(\theta\)变化）：\(r_{\mathrm{p}}(\theta)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\left[\frac{1}{2}(1-2\nu)^{2}(1+\cos\theta)+\frac{3}{4}\sin^{2}\theta\right]\)（6.5.24）
LEFM要求（试样尺寸）：\(a,b,h\geq\frac{4}{\pi}\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.25）
平面应变条件要求：\(t,a,h,b\geq2.5\left(\frac{K_{\mathrm{I}}}{\sigma_{0}}\right)^{2}\)（6.5.26）

以下是提取的公式及对应序号：

6.5 线弹性材料与非线弹性材料的能量释放率

线弹性材料（I、II、III型组合加载）能量释放率：\(G=\frac{1-\nu^{2}}{E}(K_{\mathrm{I}}^{2}+K_{\mathrm{II}}^{2})+\frac{1+\nu^{2}}{E}K_{\mathrm{III}}^{2}\)（6.5.37）
平面应力条件下能量释放率：\(G=\frac{1}{E}(K_{\mathrm{I}}^{2}+K_{\mathrm{II}}^{2})\)（6.5.38）

6.6 基于线弹性断裂力学的疲劳裂纹扩展

6.6.2 裂纹扩展特性

最大应力强度因子：\(K_{\mathrm{max}}=FS_{\mathrm{max}}\sqrt{\pi a}\)（6.6.1）
最小应力强度因子：\(K_{\mathrm{min}}=FS_{\mathrm{min}}\sqrt{\pi a}\)（6.6.2）
应力强度因子变程：\(\Delta K=K_{\mathrm{max}}-K_{\mathrm{min}}\)（6.6.3）
载荷比：\(R=\frac{S_{\mathrm{min}}}{S_{\mathrm{max}}}\)（6.6.4）
应力强度因子比：\(R=\frac{K_{\mathrm{min}}}{K_{\mathrm{max}}}\)（6.6.5）
帕里斯（Paris）公式：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C(\Delta K)^{m}\)（6.6.6a）
双对数拟合（线性形式）：\(Y=A+BX\)（6.6.6b），其中\(Y=\lg(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}),X=\lg(\Delta K),A=\lg C,B=m\)（6.6.6c）

6.6.3 沃克方程

沃克等效应力强度因子变程：\(\Delta \bar{K}=K_{\mathrm{max}}(1-R)^{\gamma}\)（6.6.7）
等效变程改写1：\(\Delta \bar{K}=\Delta K(1-R)^{\gamma-1}\)（6.6.8）
等效变程改写2：\(\Delta \bar{K}=\frac{\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma}}\)（6.6.9）
帕里斯公式（沃克形式）：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C_{1}(\Delta \bar{K})^{m_{1}}\)（6.6.10）
\(R=0\)时等效变程：\(\Delta \bar{K}=\Delta K\)（6.6.11）
\(R=0\)时裂纹扩展率：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C_{1}(\Delta K)^{m_{1}}\)（6.6.12）
\(R>0\)时裂纹扩展率：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C_{1}\left(\frac{\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma}}\right)^{m_{1}}\)（6.6.13）
整理后形式：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=\frac{C_{1}}{(1-R)^{m_{1}(1-\gamma)}}(\Delta K)^{m_{1}}\)（6.6.14）
材料常数关系：\(C=\frac{C_{1}}{(1-R)^{m_{1}(1-\gamma)}}\)（6.6.15），\(m=m_{1}\)（6.6.16）
\(R<0\)时等效变程：\(\Delta \bar{K}=\frac{\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma}}=K_{\mathrm{max}}\)（6.6.17）
\(R<0\)时裂纹扩展率：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C_{1}K_{\mathrm{max}}^{m_{1}}\)（6.6.18）
\(\gamma=1\)时等效变程：\(\Delta \bar{K}=\frac{\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma}}=\Delta K\)（6.6.19）

6.6.4 福尔曼方程

福尔曼公式（形式1）：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=\frac{C_{2}(\Delta K)^{m_{2}}}{(1-R)K_{\mathrm{c}}-\Delta K}\)（6.6.20）
福尔曼公式（形式2）：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=\frac{C_{2}(\Delta K)^{m_{2}}}{(1-R)(K_{\mathrm{c}}-K_{\mathrm{max}})}\)（6.6.21）

6.6.5 寿命估算

裂纹扩展率一般形式：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=f(\Delta K,R)\)（6.6.22）
剩余寿命积分：\(\int_{N_{\mathrm{i}}}^{N_{\mathrm{f}}}\mathrm{d}N=\int_{a_{\mathrm{i}}}^{a_{\mathrm{f}}}\frac{\mathrm{d}a}{f(\Delta K,R)}\)（6.6.23）
剩余寿命定义：\(N_{\mathrm{if}}=N_{\mathrm{f}}-N_{\mathrm{i}}=\int_{N_{\mathrm{i}}}^{N_{\mathrm{f}}}\mathrm{d}N\)（6.6.24）
帕里斯公式（特殊形式）：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C(\Delta K)^{m}\)（6.6.25）
应力强度因子变程（含几何函数）：\(\Delta K=F\Delta S\sqrt{\pi a}\)（6.6.26）
裂纹扩展率（代入\(\Delta K\)）：\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N}=C(F\Delta S\sqrt{\pi})^{m}a^{m/2}\)（6.6.27）
寿命积分（代入扩展率）：\(N_{\mathrm{if}}=\int_{a_{\mathrm{i}}}^{a_{\mathrm{f}}}\frac{1}{C(F\Delta S\sqrt{\pi})^{m}}a^{-m/2}\mathrm{d}a\)（6.6.28）
寿命积分（\(F\)为常数时）：\(N_{\mathrm{if}}=\frac{\left[1-\left(\frac{a_{\mathrm{i}}}{a_{\mathrm{f}}}\right)^{\frac{m}{2}-1}\right]}{C(F\Delta S\sqrt{\pi})^{m}\left(\frac{m}{2}-1\right)a_{\mathrm{i}}^{\frac{m}{2}-1}}\)（6.6.29）
断裂时应力强度因子（例6.6.1）：\(K_{\mathrm{c}}=\sigma_{\mathrm{max}}\sqrt{\pi a_{\mathrm{f}}}\)（6.6.30）

例6.6.2 焊点试样相关

原始裂纹应力强度因子（I型）：\(K_{\mathrm{I}}=\frac{P}{2\pi}\left(\frac{3}{t}\right)^{1/2}\left[\frac{2\left(\frac{D}{d}\right)^{2}\ln\left(\frac{D}{d}\right)}{\left(\frac{D}{d}\right)^{2}-1}-1\right]\)（6.6.31）
弯折裂纹局部应力强度因子（I型）：\(k_{\mathrm{I}}=\frac{1}{4}\left(3\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{I}}+\frac{3}{4}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{II}}\)（6.6.32）
弯折裂纹局部应力强度因子（II型）：\(k_{\mathrm{II}}=-\frac{1}{4}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{I}}+\frac{1}{4}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+3\cos\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{II}}\)（6.6.33）
纯开口加载下局部应力强度因子（I型）：\(k_{\mathrm{I}}=\frac{1}{4}\left(3\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{I}}\)（6.6.34）
纯开口加载下局部应力强度因子（II型）：\(k_{\mathrm{II}}=-\frac{1}{4}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{3\alpha}{2}\right)K_{\mathrm{I}}\)（6.6.35）
有效局部应力强度因子：\(k_{\mathrm{eq}}=\sqrt{k_{\mathrm{I}}^{2}+k_{\mathrm{II}}^{2}}\)（6.6.36）
应力强度因子变程（例6.6.2）：\(\Delta K_{\mathrm{I}}=\frac{P_{\mathrm{max}}-P_{\mathrm{min}}}{2\pi}\left(\frac{3}{t}\right)^{1/2}\left[\frac{2\left(\frac{D}{d}\right)^{2}\ln\left(\frac{D}{d}\right)}{\left(\frac{D}{d}\right)^{2}-1}-1\right]\)（6.6.37）
寿命积分（例6.6.2）：\(\int_{0}^{N_{\mathrm{f}}}\mathrm{d}N=\int_{0}^{a_{\mathrm{f}}}\frac{\mathrm{d}a}{C(\Delta k_{\mathrm{eq}})^{m}}\)（6.6.38）
寿命计算（例6.6.2）：\(N_{\mathrm{f}}=\frac{t}{C(\Delta k_{\mathrm{eq}})^{m}\sin\alpha}\)（6.6.39）

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