4

4.5 平均应力效应

从外加循环应力的角度出发，零件的疲劳损伤与外加应力幅或外加应力范围强相关，并且还要受到平均应力的影响（次要因素）。在高周疲劳区域，平均正应力对零件的疲劳特性具有显著的影响。平均正应力直接影响微观裂纹的开启或闭合状态。因为微观裂纹的开启将加速裂纹扩展，而微观裂纹的闭合则会延迟裂纹的扩展。对于疲劳强度，平均拉应力是有害的，而平均压应力却是有利的。平均剪切应力对微观裂纹的开启或闭合状态没有影响，毫无疑问，平均剪切应力对裂纹扩展的影响很小。在低周疲劳区域，大量的塑性变形消除了平均应力有利或有害的影响，平均应力对疲劳强度的影响非常小，甚至没有。
为了补偿平均拉应力对高周疲劳强度的影响，格贝尔（Gerber）、古德曼（Goodman）、海（Haigh）和索德伯格（Soderberg）等人提出了完全基于经验的早期模型\([6,9,11,45]\)。这些经验的模型可以被绘制成恒定寿命图。对于实验疲劳数据，最有用的图示表示法是在$ S_{\text{max}} - S_{\text{min}} \(或者\) S_a - S_m \(坐标系中绘制的恒定寿命图。如图4.33所示，可以利用\) S_a \(和\) S_m \(特定值得到的\) S - N \(曲线族，通过试验的方法来确定这些恒定寿命模型。 1874年，格贝尔提出了一种在\) S_{\text{max}}/S_u - S_{\text{min}}/S_u \(坐标系中表示维勒疲劳极限的抛物线法\)[6]\(，如图4.34所示。1899年，古德曼根据桥梁设计的冲击准则，提出了一种用理论直线表示可用疲劳数据的办法（即图4.34中的两条直线）\)[9]\(。古德曼证明，在此基础上应用冲击准则是非常简单和容易实施的，并与实验数据具有良好的一致性。1917年，海首次在\) S_a - S_m \(坐标系中绘制出黄铜的疲劳数据图线\)[11]\(。图4.35示出了海绘制的格贝尔和古德曼平均应力修正曲线图，纵坐标为归一化的疲劳极限，横坐标为最大平均应力与极限强度\) S_u $之比。连接坐标轴上这两个极值点的曲线表示在疲劳极限寿命时的应力幅和平均应力。
在海绘制的和古德曼的平均应力修正图中，格贝尔抛物线和古德曼直线可以用以下数学公式来表示：

（1）格贝尔平均应力修正方程：

\[S_e = \frac{S_a}{1 - \left( \frac{S_m}{S_u} \right)^2} \tag{4.5.1} \]

（2）古德曼平均应力修正方程：

\[S_e = \frac{S_a}{1 - \frac{S_m}{S_u}} \tag{4.5.2} \]

式中：$ S_e \(为对称循环载荷时的疲劳极限，等效于应力幅\) S_a \(和平均应力\) S_m \(的载荷状态。1930年，索德伯格提出，最大平均正应力应被限制到屈服强度\) S_y $，这时平均应力的修正公式表示为：

\[S_e = \frac{S_a}{1 - \frac{S_m}{S_y}} \tag{4.5.3} \]

后来，对这些方程进行扩展，即用对称循环应力幅$ S_{ae} \(直接替换疲劳极限\) S_e $，用于研究平均应力的影响，与高周疲劳区域的规定寿命相对应。
在这些早期的经验方程中，古德曼公式简单、最具有吸引力，特别是在疲劳极限时，对于处理平均拉应力非常有效。对于韧性材料，有切口构件与光滑构件的极限强度大致相等。对于韧性材料的有切口构件和光滑构件的极限强度，古德曼方程可以归结如下：

\[S_{ae} = \frac{S_a}{1 - \frac{S_m}{S_u}} \tag{4.5.4} \]

对于大多数韧性材料，平均压应力并不有利于疲劳强度，这种假设较为保守。这就意味着如果平均正应力为负，那么对称循环应力幅就与应力幅相同。图4.36是一个在海图中绘制的关于平均拉应力和压应力的改进古德曼疲劳极限图。威尔逊和海于1923年提出，将恒定屈服强度直线作为韧性材料关于安全设计区域的一个附加约束条件，即疲劳极限和屈服强度的安全设计区域，如图4.36所示\([51]\)。
自1960年以来，在对过去模型改进的基础上，提出了一些新的平均应力效应模型。疲劳试验数据表明，平均拉应力会降低疲劳强度系数，而平均压应力会提高疲劳强度系数。此外，考虑到单调屈服和极限强度并不适合于描述一种材料的疲劳特性，莫洛（Morrow）于1968年提出，应力幅加上平均应力绝不允许超过疲劳强度系数$ S'_f \(，即在一次反向的疲劳强度\)[28]$。莫洛的表述用以下恒定寿命图的方式表示为

\[S_{ae} = \frac{S_a}{1 - \frac{S_m}{S'_f}} \tag{4.5.5} \]

或

\[S_a = (S'_f - S_m)(2N_f)^b \tag{4.5.6} \]

从图4.37可以观察到古德曼方程和莫洛方程之间的差异，将直线的斜率的负值定义为平均应力灵敏度系数$ M \(。如果\) M $已知，则海图中的平均应力修正直线为

\[S_{ae} = S_a + MS_m \tag{4.5.7} \]

另外一个比较常用的方法是史密斯、沃森和腾普（SWT）方程\([43]\)，在该方程中，等效对称循环应力幅表示如下：

\[S_{ae} = \sqrt{S_{\text{max}} \cdot S_a} = S'_f \cdot (2N_f)^b, {,}^{,}S_{\text{max}} > 0 \tag{4.5.8} \]

在数学的角度来讲，如果$ S_{\text{max}} \leq 0 \(，这个方程预测无限寿命，可以认为在这些情况下疲劳裂纹不会萌生。这个SWT公式普遍用于评估平均应力对零件寿命数据的影响\)[4]\(。 对于较小的平均应力载荷，通常认为莫洛和SWT方法优于古德曼方法。在没有疲劳特性可用的情况下，古德曼平均应力修正公式应该是唯一可用的。通常，SWT模型可以确立大多数金属构件的试验疲劳数据的相关性，对于铝合金尤为有效。 对于平均应力较大的应用环境，引入了基于平均应力灵敏度系数概念的经验模型。由图4.38可以看出，平均应力灵敏度系数\) M \(在不同的平均应力水平上有所变动\)[36]\(。例如，对于较低的平均应力载荷（\) -1 \leq R < 0 \(），系数\) M $的定义如下：

\[M = \frac{S_{a,R=-1} - S_{a,R=0}}{S_{a,R=0}} \tag{4.5.9} \]

对于较低的平均压应力载荷（$ -\infty \leq R < -1 \(），平均应力灵敏度系数用\) M_2 \(表示，从0变化到\) M \(。对于较高的平均应力（\) 0 \leq R \leq 1 \(或\) S_a > S_y \(），平均应力灵敏度系数用\) M_1 \(表示，通常为\) M \(的1/3（即\) M_1 \approx M/3 \(）。这是基于经验观察所得出的结论，平均应力较高而幅值较小的载荷所造成的损伤效应大于采用系数\) M \(预测得到的结果。舒兹（Schultz）1968年还发现，材料的\) M \(系数随着其强度极限的升高而增大\)[38]\(，如图4.39所示。 对于焊接件，由于在焊接后存在约为屈服应力2/3的高拉伸残余应力，在非常低的名义应力下就会产生局部切口塑性变形。因此，在焊接行业中通常的做法是，根据名义应力幅来预测焊接件的疲劳寿命，而不对平均应力进行修正。根据拉达伊和桑西诺1998年的研究可见\)[37]\(，这个结果与海图中\) M_2 = 0 \(的值相对应。 如果基准\) S - N \(曲线是由试样在\) R = 0 \(载荷作用下得到的，则需要将所有正的平均轴载荷转变成与\) R = 0 $等效的载荷。对于给定的平均应力敏感系数，采用如下转换公式：

\[S_{ae,R=0} = \frac{S_a + MS_m}{M + 1} \tag{4.5.10} \]

这个方程广泛用于点焊焊接寿命预测，因为单个点焊实验室试样经受不住使金属薄板产生局部压曲的任何压力。因此，在得到基准$ S - N \(曲线时，这些试样通常采用\) R = 0 \(的加载方式。 任何平均剪切应力可以认为是正的，因为剪切的符号可以任意选择。试验疲劳数据表明，在扭转载荷状态下剪切平均应力对无切口构件的影响非常小。如果在承受扭转载荷的零件中存在显著的应力集中源，则高应力集中区域的应力状态与纯切应力有所不同。扭转载荷作用下的试验结果表明，剪切平均应力对疲劳强度的危害与在其它载荷状态下所观察到的弯曲应力的危害程度大致相等。建议采用有切口扭转构件的\) \tau_a - \tau_m \(古德曼方程，其中，已知极限切应力\) S_{su} \(。 **例4.10** 一个由SAE1005材料制成的有切口热轧零件（\) S_y = 321\mathrm{MPa} \(），由一个带有直径为4mm的中心孔的金属板组成。如图4.40所示，该金属板的宽度为16mm，厚度为5mm。根据零件几何比计算出弹性拉应力集中系数\) K_t \(为2.4。对于由相同材料制成的无切口热轧金属板，采用循环轴向加载方式进行疲劳试验，生成基准\) S - N \(曲线，该基准曲线具有以下疲劳特性：\) S'_f = 886\mathrm{MPa}, b = -0.14 $。

1. 根据莫洛平均应力修正法则，确定这个有切口金属板在$ +8000\mathrm{N} \sim -6000\mathrm{N} $循环轴向载荷作用下的疲劳寿命。
2. 根据莫洛平均应力修正法则，确定这个有切口金属板在如图4.41所示的变幅载荷历程作用下的疲劳寿命。
   解：（1）根据已知疲劳特性，无切口零件的$ S - N $方程可以表示为

\[S_a = S'_f(2N_f)^b = 886(2N_f)^{-0.14} \]

计算在$ 10^6 $次循环时的疲劳极限（光滑金属板），

\[S_e = 886 \times (2 \times 10^6)^{-0.14} = 116\mathrm{MPa} \]

所分析的金属板上有一个孔，成为一个应力集中源。必须对以往的$ S - N \(方程进行调整。该零件是钢制的。因此，应采用彼德森方程来确定疲劳强度折减系数\) K_f $。

\[K_f = 1 + (K_t - 1)q \]

由于材料的强度极限小于560MPa，应采用钢的切口敏感度经验曲线来确定$ q \(。在切口半径为2mm、强度极限为321MPa时，根据轴向载荷图可以确定\) q $值为0.68。因此，

\[K_f = 1 + (2.4 - 1) \times 0.68 = 0.952 \]

柯林斯法通常用于调整有切口效应的$ S - N $曲线。有切口金属板的疲劳极限计算如下：

\[S_{e,\text{有切口}} = \frac{S_e}{K_f} = \frac{116}{1.952} = 59.5\mathrm{MPa} \]

通过确定在$ 1 \times 10^6 \(和\) 2 \times 10^6 \(次反向时疲劳强度值之间的新斜率，可用获得调整后的\) S - N $方程：

\[b' = \frac{\lg(59.5) - \lg(886)}{\lg(2 \times 10^6) - \lg(1)} = \frac{-1.17}{6.30} = -0.186 \]

\[S_{a,\text{有切口}} = 886(2N_f)^{-0.186} \]

在确定了有切口金属板的$ S - N $曲线之后，考虑对该金属板的加载方式。首先，必须将以下加载方式转变成为名义应力之力。

\[P_{\text{max}} = 8000\mathrm{N}, P_{\text{min}} = 6000\mathrm{N} \]

因为该金属板承受的是轴向载荷，根据有效截面积，金属板的名义应力可以通过如下弹性方程确定：

\[S = \frac{P}{A_{\text{net}}} \]

对于$ P_{\text{max}} \(和\) P_{\text{min}} $，

\[S_{\text{max}} = \frac{P_{\text{max}}}{A_{\text{net}}} = \frac{8000}{(16 - 4) \times 5} = \frac{8000}{60} = 133\mathrm{MPa} \]

\[S_{\text{min}} = \frac{P_{\text{min}}}{A_{\text{net}}} = \frac{-6000}{(16 - 4) \times 5} = \frac{-6000}{60} = -100\mathrm{MPa} \]

根据最大和最小应力，确定名义应力幅和平均应力：

\[S_a = 117\mathrm{MPa}, S_m = 16.7\mathrm{MPa} \]

由于这种加载方式导致平均应力，应采用莫洛方程确定有切口金属薄板的疲劳寿命：

\[117 = (886 - 16.7)(2N_f)^{-0.186} \text{和} N_f = 24100 \text{次循环} \]

（2）由于确定有切口$ S - N \(方程的方法与（1）相同，故采用前面的结果。对载荷历程进行两流计数，并应用与（1）相同的有切口金属板\) S - N $公式，其寿命可以预测如下：

$ n_i $/次循环	$ P_{\text{max}} $/N	$ P_{\text{min}} $/N	$ S_{\text{max}} $/MPa	$ S_{\text{min}} $/MPa	$ S_a $/MPa	$ S_m $/MPa	$ N_i $/次循环	$ d $
1	6000	-4000	100	-66.7	83.3	16.7	$ 1.50\text{E}+5 $	$ 6.67\text{E}-6 $
1	10000	-8000	167	-133	150	16.7	$ 6.33\text{E}+3 $	$ 1.58\text{E}-4 $
							$ \sum d $	$ 1.65\text{E}-4 $

由于一个载荷块时间历程所造成的总损伤是$ \sum d = 1.65 \times 10^{-4} \(，在这种变化载荷作用下有切口金属薄板的寿命为6060个载荷块（\) = 1.0/1.65 \times 10^{-4} \(）。 **例4.11（应用）** 一个球墨铸铁制空心轴在自动变速箱中用于传递扭矩。该轴具备机加工的表面粗糙度，极限拉伸强度为552MPa。图4.42示出了有切口轴的几何尺寸。根据0.13mm的切口半径，计算出扭转弹性应力集中系数\) K_t = 4.04 $。利用古德曼平均应力修正公式，确定该轴在承受0~678Nm扭矩载荷时的失效循环次数。
解：根据有效截面面积，计算出空心轴由最大外加扭矩所引起的最大名义切应力：

\[S_{\text{max}} = \frac{16T_{\text{max}}d_{o0}}{\pi(d_0^4 - d_i^4)} = \frac{16 \times 678 \times 40.79}{\pi(40.79^4 - 35.73^4)} = 123.7\mathrm{MPa} \]

然后确定名义切应力幅和平均应力。

\[S_a = S_m = 61.85\mathrm{MPa} \]

估计球墨铸铁的切应力强度极限$ S_{su} $：

\[S_{su} = 1.3 \times S_u = 1.3 \times 552 = 717.6\mathrm{MPa} \]

由于存在应力集中源，故采用古德曼平均应力修正公式来生成对称循环名义切应力：

\[S_{ae} = \frac{S_a}{1 - \frac{S_m}{S_{su}}} = \frac{61.85}{1 - \frac{61.85}{717.6}} = 67.7\mathrm{MPa} \]

为了确定失效循环次数，需要生成有切口轴的扭转$ S - N \(曲线。铸铁在\) 5 \times 10^7 $次循环时的疲劳极限估算值为：

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_GC_DC_R}{K_f} \]

式中
对于铸铁，$ S_{se} = 0.4S_u = 0.4 \times 552 = 221\mathrm{MPa} \( 扭转载荷系数\) C_L = 0.8 \(。根据表面光洁度系数图，并利用机加工表面曲线，得出表面光洁度系数\) C_S = 0.76 \(。根据轴的有效外部直径，获得尺寸系数\) C_D $。

\[C_D = 1.189 \times d^{-0.097} = 1.189 \times (40.79)^{-0.097} = 0.82 \]

假设可靠性为0.5，这时可靠性系数$ C_R = 1.0 \(。 球墨铸铁\) K_f $的估计值由海伍德经验方程得：

\[K_f = \frac{K_t}{1 + 2\frac{\sqrt{a'}}{\sqrt{r}}\left( \frac{K_t - 1}{K_t} \right)} \]

式中

\[\sqrt{a'} = \frac{173.6}{S_u} = \frac{173.6}{552} = 0.314\mathrm{mm}^{1/2} \]

因此，

\[K_f = \frac{4.04}{1 + 2\frac{0.314}{\sqrt{0.13}}\left( \frac{4.04 - 1}{4.04} \right)} = 1.75 \]

有切口空心轴在$ 5 \times 10^7 $次循环时的疲劳极限可以确定为

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_GC_DC_R}{K_f} = \frac{221 \times 0.8 \times 0.76 \times 0.82 \times 1}{1.75} = 63.0\mathrm{MPa} \]

下一步是找出在1000次循环时的疲劳强度，即：

\[S_{1000} = \frac{0.9S_{su}C_R}{K'_f} \]

根据钢的$ K_f \(和\) K_0 $经验曲线图，可以得到以下关系式：

\[\frac{K'_f - 1}{K_f - 1} = 0.1 \]

然后可以确定$ K'_f $的值为1.05。
因此，在1000次循环时的疲劳极限为

\[S_{1000} = \frac{0.9S_{su}C_R}{K'_f} = \frac{0.9 \times 717.6 \times 1}{1.05} = 615\mathrm{MPa} \]

然后，确定在67.7MPa时的疲劳寿命为

\[\frac{\lg(10^3) - \lg(5 \times 10^7)}{\lg(615) - \lg(63.0)} = \frac{\lg(10^3) - \lg(N_f)}{\lg(615) - \lg(67.7)} \]

由此得出$ N_f = 3.55 \times 10^7 \(次循环。 **例4.12（应用）** 如图4.43所示，一个半椭圆形板簧承受一个从1500N变化到6000N的循环中心载荷\) 2F \(。用一个中央螺栓将5个板簧固定在一起，已知中央螺栓引起的疲劳强度折减系数为\) K_f = 1.3 \(，每个板簧的长度\) L \(均为1200mm、宽度\) W \(为80mm和厚度\) t \(为7mm。 对合金钢制板簧进行热处理，然后在安装之前进行喷丸处理。该合金钢的强度极限为700MPa。喷丸处理后在板簧表面引起的残余压应力为-350MPa，硬度增加到250BHN（布氏硬度值），表面粗糙度（AA）增加到1.3\) \mu \(m。经受循环载荷作用的板簧具有无限寿命吗？ 解：由于半椭圆形板簧具有对称性，可以从螺栓孔中心将其分成两半，只需考虑整个系统的一半。板簧的每一半都相当于一个承载着全部载荷1/2的悬臂梁，所引起的弯曲应力是导致失效的最主要原因。作用在垂直方向上的力\) F $所引起的切应力可以忽略不计。在本例中，螺栓的夹紧载荷也忽略不计。此外，假设板簧之间不存在摩擦，所以每个板簧实际上只分别承担螺栓孔区域弯曲载荷的1/5。因此，可以只对其中一个板簧进行分析，其结果可以推广应用到所有的5个板簧上。
施加到板簧中央的弯曲载荷从最大6000N变化到最小1500N。如前所述，由于这个问题已经被简单化，簧板每一端上的载荷都被减少到中心载荷的一半。

\[F_{\text{max}} = 3000\mathrm{N}, F_{\text{min}} = 750\mathrm{N} \]

根据最大和最小载荷，可以确定两端的平均应力和应力幅。

\[F_m = 1875\mathrm{N}, F_a = 1125\mathrm{N} \]

为确定每个板簧由弯曲载荷所引起的应力，必须根据已知的几何信息推导出弹性弯曲应力的方程。对于弯曲载荷，名义应力为$ S = M_c/I \(，根据几何形状，可知\) M = \frac{F(L/2)}{5}, C = \frac{t}{2}, I = \frac{1}{12}wt^3 $。简化以上方程，得到板簧的弯曲名义应力方程：

\[S = \frac{3FL}{5wt^2} \]

利用推导出的名义应力方程，可以计算出应力幅和平均应力：

\[S_a = \frac{3F_aL}{5wt^2} = \frac{3 \times 1125 \times 1200}{5 \times 80 \times 7^2} = 207\mathrm{MPa} \]

\[S_{m,\text{弯曲}} = \frac{3F_mL}{5wt^2} = \frac{3 \times 1875 \times 1200}{5 \times 80 \times 7^2} = 344\mathrm{MPa} \]

鉴于板簧经过喷丸处理，在平均应力计算中必须考虑-350MPa的残余应力。

\[S_m = S_{m,\text{弯曲}} + S_{m,\text{残余}} = 344 + (-350) = -5.61\mathrm{MPa} \]

由于这种加载方式引起平均压应力，忽略这个应力是比较保守的，并且等效对称循环应力幅变为$ S_a = 207\mathrm{Pa} $。
现在，为了确定其疲劳寿命是否无限，必须将外加应力值与采用如下方程估算的疲劳极限进行比较：

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_DC_S C_R}{K_f} \]

式中，钢的$ S_u = 3.45\mathrm{BHN} = 3.45 \times 863 = 863\mathrm{MPa} < 1400\mathrm{MPa}$

\[S_{se} = 0.5S_u = 0.5 \times 863 = 431\mathrm{MPa} \]

弯曲载荷系数$ C_L = 1.000 $
由于板簧不是圆形的，当量直径必须采用以下公式确定：

\[d_e = \sqrt{0.65wt} = \sqrt{0.65 \times 80 \times 7} = 19.1\mathrm{mm} \]

然后确定尺寸系数：

\[\text{由于} \ d_e > 8\mathrm{mm}, C_D = 1.189(d)^{-0.097} = 1.189(19.1)^{-0.097} = 0.89 \]

利用表面光洁度系数曲线图中的$ S_u = 863\mathrm{MPa} \(和表面光洁度系数1.3\) \mu $m，可以查出：

\[C_S = 0.92 \]

由于没有给定可靠性要求，所以假设在本分析中50%的可靠性就足够了。因此，

\[C_R = 1.000 \]

疲劳强度折减系数$ K_f = 1.3 $，在问题说明中就给出了相关信息。因此，该板簧的修正疲劳极限为

\[S_e = \frac{431 \times 1.000 \times 0.826 \pm 0.92 \times 1.000}{1.3} = 272\mathrm{MPa} \]

由于所施加的弯曲应力（$ S_a = 207\mathrm{MPa} \(）低于疲劳极限（\) S_e = 272\mathrm{MPa} \(）。因此可以得出结论，该板簧在施加循环载荷状态下具有无限寿命。 **例4.13（应用）** 根据试验场耐久性规程，安装到后轮驱动车辆上的后桥半轴经历两种类型的疲劳失效：即在转盘引导半径和花键端分别出现裂纹，如图4.44和图4.45所示。现场分析发现，在轮胎衬垫处的回转力是导致转盘引导半径出现裂纹的主要的载荷，而作用在半轴上的交变扭矩是导致花键端剪切失效的重要原因。 图4.44和图4.45给出了一个新设计的详图尺寸，对其提出改进建议。新设计的采用SAE1050钢制成，其强度极限为690MPa。除轴毂端之外，整个轴都经过热处理，达到布氏硬度300BHN。引导半径和花键端都经过机加工达到了要求的尺寸规格。在转盘引导半径处为弯曲应力，在花键端为扭转应力，系数\) K_t \(的值分别为4.01和1.16。 根据半轴制造商的设计手册，半轴应该具有承受车辆转弯\) 10^6 $次应力循环所引起的0.9G离心力的能力，半轴设计应能保证承受最大交变滑动扭矩8000次循环。
作用在半轴上的载荷可以计算如下：

1. 车辆转弯的影响：轮胎衬垫的回转力在半轴轮缘端引起弯矩和轴向力。弯矩和轴向力计算如下：

\[M = 0.9(\text{GAWR}/2)\text{SLR} \]

式中：GAWR为车轴总重量荷载（15kN）；SLR为轮胎的静载荷半径（358mm）。
2. 最大滑动扭矩的影响：每个半轴的最大滑动扭矩用下式给出：

\[T_{r,\text{max}} = \frac{\mu \cdot \text{GAWR}}{1 - \frac{\mu H}{L}}0.5(\text{SLR}) \]

式中：$ L \(为轴距（3330mm）；\) H \(为车辆总高度（625mm）；\) \mu $为干燥路面的摩擦系数（0.9）。
通过计算半轴在车辆回转力和最大交变滑动扭矩作用下的疲劳寿命，确定新设计的后轴是否满足两个设计准则。
解：（1）为了验证后车轴的设计，需要根据回转力和扭转载荷的耐久性准则进行疲劳分析。首先，考虑在转盘引导半径上的回转力载荷。对于由于车辆转弯引起的弯矩，

\[M = 0.9(\text{SLR})\left( \frac{\text{GAWR}}{2} \right) = 0.9 \times (0.358)\left( \frac{15000}{2} \right) = 2417\mathrm{N·m} \]

每当本轴旋转一周，作用在转盘引导半径上的弯曲应力就会进行一次拉应力和压应力交替。因此，半轴每旋转一周，就有一个循环的对称循环外加力矩（$ M_a = 2417\mathrm{N·m} $）作用在转盘引导区域。
由车辆转弯引起的轴向载荷，导致对转盘引导半径产生恒压和零载荷幅。因此，

\[P_m = -0.9\left( \frac{\text{GAWR}}{2} \right) = -0.9\left( \frac{15000}{2} \right) = -6750\mathrm{N} \]

对于弯曲载荷，可以确定轴毂的名义弯曲应力幅：

\[S_a = \frac{32M_a}{\pi d^3} = \frac{32 \times 2417 \times 1000}{\pi \times 78.5^3} = 50.9\mathrm{MPa} \]

对于轴向载荷，可以确定轴的名义平均应力：

\[S_m = \frac{4P_m}{\pi(d^2)} = \frac{4(-6750)}{\pi(78.5^2)} = -1.39\mathrm{MPa} \]

因为作用在引导半径上的载荷是平均压应力，保守地认为在本疲劳分析中只有对称循环名义弯曲应力（$ \pm 50.9\mathrm{MPa} \(）起作用。 为了确定半轴在\) \pm 50.9\mathrm{MPa} \(外加弯曲应力时是否可以经受住\) 10^6 $次循环，必须估算疲劳极限。疲劳极限可以通过下式获得：

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_DC_S C_R}{K_f} \]

式中，$ S_{se} = 0.5S_u = 0.5 \times 690 = 345\mathrm{MPa} \(，对于钢\) S_u = 690 < 1400\mathrm{MPa} \(： 弯曲载荷系数\) C_L = 1.0 \( 当\) d = 78.5\mathrm{mm} > 8\mathrm{mm} $时，尺寸系数是：

\[C_D = 1.189a^{-0.097} = 1.189 \times 78.5^{-0.097} = 0.779 \]

将$ S_u = 690\mathrm{MPa} \(与表面光洁度系数曲线图中的机加工曲线进行对比，可以得出\) C_S = 0.75 \(。由于没有给出可靠性要求，假设中值（50%的可靠性）就足够了，即\) C_R = 1.000 \(。 在转子引导半径上，已知因弯曲而引起的应力集中系数\) K_t = 4.01 \(，故采用彼德森方程来确定钢轴的\) K_f \(值。由于\) S_u = 690\mathrm{MPa} > 560\mathrm{MPa} \(，可以应用切口敏感度系数经验值来确定\) q $值。对于弯曲应力：

\[a = 0.0254 \times \left( \frac{2079}{S_u} \right)^{1.8} = 0.0254 \times \left( \frac{2079}{690} \right)^{1.8} = 0.185\mathrm{mm} \]

\[q = \frac{1}{1 + \frac{a}{r}} = \frac{1}{1 + \frac{0.185}{1.00}} = 0.844 \]

$ K_f $值可以采用下式估算：

\[K_f = 1 + (K_t - 1)q \]

由此可得

\[K_f = 1 + (4.01 - 1) \times 0.844 = 3.54 \]

因此，疲劳极限为

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_DC_S C_R}{K_f} = \frac{345 \times 1.0 \times 0.779 \times 0.75 \times 1.0}{3.54} = 56.9\mathrm{MPa} \]

由于外加弯曲名义应力幅（50.9MPa）小于疲劳极限（56.9MPa），新设计的后桥半轴在车辆转弯时应具有无限寿命，并且完全可以满足设计准则（$ > 10^6 $次循环）。
（2）在此对承受扭转应力的花键末端进行校核。首先，必须确定最大滑动扭矩，然后将其转换成名义切应力。最大滑动扭矩确定如下：

\[T = 0.5(\text{SLR})\left( \frac{\mu(\text{GAWR})}{1 - \frac{\mu(H)}{L}} \right) = 0.5 \times 0.358 \times \left( \frac{0.9 \times 15000}{1 - \frac{0.9 \times 0.625}{3.33}} \right) = 2908\mathrm{N·m} \]

扭转轴的设计准则要求这一载荷必须是外加循环载荷，如$ T_a = 2908\mathrm{N·m} $。由下式可得名义切应力幅：

\[S_a = \frac{16T_a}{\pi(d)^3} = \frac{16 \times 2908 \times 1000}{\pi \times 29.7^3} = 565\mathrm{MPa} \]

为了确定轴在对称循环名义切应力幅为$ S_a = 565\mathrm{MPa} \(时的疲劳寿命，首先要估算出这个有切口轴的\) S - N $曲线。采用下式估算出疲劳极限为：

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_DC_S C_R}{K_f} \]

由于轴的这个区域经过热处理，因此必须采用材料热处理后的强度极限。
当$ \text{BHN} < 500\text{BHN} \(时，\) S_u = 3.45(\text{BHN}) = 3.45 \times 300 = 1035\mathrm{MPa} \( 对于钢料\) S_u > 1400\mathrm{MPa}, S_{se} = 0.5S_u = 0.5 \times 1035 = 518\mathrm{MPa} \( 扭转载荷系数\) C_L = 0.58 \(。\) d = 29.7 > 8\mathrm{mm} $时的尺寸系数为

\[C_D = 1.189(d)^{-0.097} = 1.189 \times 29.7^{-0.097} = 0.856 \]

将$ S_u = 1034\mathrm{MPa} \(与表面加工曲线图中的机加工曲线进行对比，得出表面系数\) C_S = 0.69 \(。由于没有给出可靠性要求，假设可靠性系数取中值就已经足够了，得出在可靠性为50%时的可靠性系数\) C_R = 1.000 \(。 由于已知花键末端在扭转作用下的应力集中系数\) K_t = 1.16 \(，可以采用彼德森方程来确定\) K_f \(。由于材料的强度极限大于560MPa，因此应采用经验的切口敏感度公式来确定\) q $。
对于扭转载荷，

\[a = 0.01524 \times \left( \frac{2079}{S_u} \right)^{1.8} = 0.01524 \times \left( \frac{2079}{1034} \right)^{1.8} = 0.0536\mathrm{mm} \]

\[q = \frac{1}{1 + \frac{a}{r}} = \frac{1}{1 + \frac{0.0536}{6.3}} = 0.992 \]

利用彼德森方程估算$ K_f $，

\[K_f = 1 + (K_t - 1)q = 1 + (1.16 - 1) \times 0.992 = 1.16 \]

因此，有切口轴的疲劳极限为

\[S_e = \frac{S_{se}C_LC_DC_S C_R}{K_f} = \frac{518 \times 0.58 \times 0.856 \times 0.69 \times 1.000}{1.16} = 153.0\mathrm{MPa} \]

1000次循环时的疲劳强度估算为

\[S_{1000} = \frac{0.9S_{su}C_R}{K'_f} \]

式中，钢的切应力强度极限$ S_{su} \(约为\) 0.8S_u = 827\mathrm{MPa} \(，根据\) K_f \(和\) K'f \(之间的经验公式，可以得出\) C = 1.0K'_f \(。对于\) S_u = 1034\mathrm{MPa} $的钢，

\[S'_{1000} = \frac{K'_f - 1}{K_f - 1} = 0.384 \]

\[K'_f = 1 + (1.16 - 1) \times 0.384 = 1.06 \]

因此，有切口零件在1000次循环时的疲劳强度为

\[S_{1000} = \frac{0.9S_{su}C_R}{K'_f} = \frac{0.9 \times 827 \times 1.0}{1.06} = 702\mathrm{MPa} \]

在$ S_{1000} \(和\) S_e \(值确定之后，可将其用于确定轴在\) S_a = 565\mathrm{MPa} $时的循环次数。确定在外加应力下的寿命，

\[\frac{\lg(10^3) - \lg(5 \times 10^7)}{\lg(702) - \lg(153)} = \frac{\lg(10^3) - \lg(N_f)}{\lg(702) - \lg(565)} \]

解方程，得$ N_f = 2680 $次循环。
由于失效循环次数（2680次循环）低于在最大交变滑动扭矩水平下的8000次循环，因此花键区域需要重新设计。