6.3 应变 - 寿命法

6.3 应变 - 寿命法

应力法所适用的范围是材料的弹性阶段。当材料在载荷的作用下发生塑性应变的情况下，应力法就不再适用。汽车在其研发过程中都要通过综合耐久试验。通常综合耐久试验中的载荷都会导致汽车结构发生局部的塑性变形。减振器座是典型的一个例子，其结构上的塑性变形经常肉眼可见。在这种情况下，考虑了塑性应变的应变法是必然的选择。
基于应变的疲劳分析方法最初是在20世纪50年代末和60年代初期建立起来的。

6.3.1 应力 - 应变关系

在应变 - 寿命法中需要用到应力与应变之间的关系。在循环载荷下的应力 - 应变关系，与单调载荷下的应力 - 应变关系有所不同。下面首先回顾两种不同载荷下的应力 - 应变关系。

1. 单调应力 - 应变关系
   材料静强度特性测试的试验是一个单向加载的试验，所得到的应力 - 应变（σ - ε）曲线也称单调应力 - 应变（σ - ε）曲线。图2.2是一个典型的材料单调应力 - 应变（σ - ε）曲线。材料的总应变ε由弹性应变\(\varepsilon_{e}\)和塑性应变\(\varepsilon_{p}\)两部分组成。在材料达到颈缩前的均匀变形阶段，在曲线上任一点卸载，弹性应变\(\varepsilon_{e}\)将恢复（即消除），塑性应变\(\varepsilon_{p}\)将作为残余应变留下。
   材料的总应变ε是弹性应变\(\varepsilon_{e}\)和塑性应变\(\varepsilon_{p}\)的和，即

\[ \varepsilon=\varepsilon_{e}+\varepsilon_{p} \]

其中弹性应变\(\varepsilon_{e}\)由Hook定律给出

\[ \varepsilon_{e}=\frac{\sigma}{E} \]

塑性应变\(\varepsilon_{p}\)由Hollomon关系决定

\[ \varepsilon_{p}=(\frac{\sigma}{K})^{\frac{1}{n}} \]

式中K——材料的强度系数，具有应力的量纲，MPa；
n——应变硬化指数，无量纲。
进而可以得到总应变ε为

\[ \varepsilon=\varepsilon_{e}+\varepsilon_{p}=\frac{\sigma}{E}+(\frac{\sigma}{K})^{\frac{1}{n}} \]

这就是著名的Remberg - Osgood弹塑性应力 - 应变关系。
对于常用结构金属材料，应变硬化指数n值一般在0 ~ 0.6之间，n = 0表示无应变硬化，应力与塑性应变无关，是理想塑性材料。

2. 循环应力 - 应变关系
   材料疲劳特性测试的试验是一组对称循环加载的试验。应变疲劳试验使用应变控制试验方法。对于某一个应变幅值的循环，所得到的应力 - 应变（σ - ε）的响应曲线如图6.25所示。在试验中，应力和应变从零点（原点O）开始达到最大值A点，随载荷反向、减少到负向最大。由于有塑性应变的存在，当应力为零时，应变不回到零，其值是卸载以后残留的塑性应变\(\varepsilon_{p}\)，所减少（恢复）的部分是弹性应变\(\varepsilon_{e}\)，之后应力和应变变成负值并一直达到反向的最大值B点，然后再随载荷反向增加到正向最大值A点，形成一个闭合的环形曲线。这种曲线称为迟滞回线。大多数金属材料在试验的开始阶段应力幅不断变化，会有所谓的循环硬化和软化的现象，但在经过一定的循环之后曲线趋于稳定，形成稳定的迟滞回线。图6.25显示是一个稳定的迟滞回线。对于这一个幅值的循环试验一直持续到材料“失效”。
   在一个幅值的试验结束以后，再重复进行其他幅值的试验。每一个幅值的试验会生成一个应力 - 应变迟滞回线。一组不同幅值的试验会产生一组应力 - 应变迟滞回线，如图6.26所示。图6.26中各条稳定迟滞回线的顶点是应力和应变的幅值点。它们的连线反映了不同应变幅值\(\varepsilon_{a}\)的循环里，应力的幅值\(\sigma_{a}\)响应。由此得到的\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)之间的关系，称为循环（cyclic）应力 - 应变曲线。循环应力 - 应变曲线是一组应力 - 应变迟滞回线的骨架。
   在\(\varepsilon - N\)曲线中的总应变分成弹性应变塑性应变两部分

\[ \varepsilon_{a}=\varepsilon_{ea}+\varepsilon_{pa} \]

式中\(\varepsilon_{ea}\)——弹性应变的幅值；
\(\varepsilon_{pa}\)——塑性应变的幅值。
循环\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)曲线可以使用类似静强度应力 - 应变关系的Remberg - Osgood公式来描述，即

\[ \varepsilon_{a}=\varepsilon_{ea}+\varepsilon_{pa}=\frac{\sigma_{a}}{E}+(\frac{\sigma_{a}}{K'})^{\frac{1}{n'}} \]

式中\(\varepsilon_{ea}\)——弹性应变的幅值；
\(\varepsilon_{pa}\)——塑性应变的幅值；
\(K'\)——材料的循环应变硬化系数，具有应力的量纲，MPa；
\(n'\)——循环应变硬化指数，无量纲。
对于大多数金属材料，循环应变硬化指数\(n'\)在0.1 ~ 0.2之间。
循环应力 - 应变（\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)）曲线与单调应力 - 应变（σ - ε）曲线不同。
第一，循环应力 - 应变（\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)）曲线与单调应力 - 应变（σ - ε）曲线不一样。文献[3]引用了几种材料的例子。图6.27显示了铝合金7075 - T6和合金钢SAE4340两种材料的循环应力 - 应变（\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)）曲线与单调应力 - 应变（σ - ε）曲线。从图6.27中可以看出，在一部分弹性阶段（早期），循环应力 - 应变（\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)）关系为线性，两者基本重合，在单调载荷下的后期弹性阶段，循环应力 - 应变（\(\sigma_{a}-\varepsilon_{a}\)）关系变为非线性，两者分离。两者的大小关系随材料不同而不同。
第二，单调应力 - 应变（σ - ε）曲线反映了整个加载过程中应力和应变的路径。而循环应力 - 应变曲线只反映循环应力幅值与应变幅值之间的关系，即两者达到最大值时的关系，不反映加载过程中应力和应变的路径。因为\(\varepsilon_{a}=\Delta\varepsilon/2\)和\(\sigma_{a}=\Delta\sigma/2\)，将它们代入式（6.35）中可以得到

\[ \Delta\varepsilon=\Delta\varepsilon_{e}+\Delta\varepsilon_{p}=\frac{\Delta\sigma}{E}+2(\frac{\Delta\sigma}{2K'})^{\frac{1}{n'}} \]

观察图6.26中循环应力 - 应变曲线（中心的骨架线）和应力 - 应变迟滞回线（外部环线），沿对角线划分，左上角的部分是上升段，右下角的部分是下降段，两部分大致对称，可以考虑其中的一半。观察两线的上升段，两条线有类似之处。Masing假设，在新建的\(\Delta\sigma-\Delta\varepsilon\)坐标系中，应力 - 应变迟滞回线满足式（6.36）。这一假设称为Masing假设。满足这一假设的材料，称为Masing材料。式（6.36）称为Masing方程。Masing方程在应变疲劳方法中可以使用。

6.3.2 应变 - 寿命曲线

应变 - 寿命曲线是通过一组应变控制的对称循环的材料疲劳试验得到的。试验按照国家标准或者国际标准操作进行。用于测试应变 - 寿命（\(\varepsilon - N\)）曲线的试验标准有国家标准GB/T 26077—2010《金属材料 疲劳试验 轴向应变控制方法》[4]和国际标准ISO 12106 (2003)[5] 。两者是一致的。
如上所述，对于每一个等应变幅值的对称循环试验，试验一直进行到材料“失效”，得到循环次数N（或寿命）。对于失效的定义有很多种。国家标准GB/T 26077—2010和国际标准ISO 12106 (2003)给出了以下几种失效的判据：
① 试件完全断裂为两部分。
② 最大拉伸应力相对试验确定的水平发生某一百分数的变化。
③ 在迟滞回线上拉伸与压缩弹性模量的比值发生一定程度的改变。
④ 最大拉伸应力相对最大压缩应力发生某一百分数的变化。
以上任何一种条件均可以作为失效的判据依据。通常使用失效判据①或②。如果使用判据①，记录的寿命显然是总寿命，与应力法的有关讨论一样，这个寿命包括裂纹起始和裂纹扩展。标准[4、5]推荐②中的百分数值为25%，指出“这一失效判据与在试件上出现的肉眼可见的裂纹有关。一般来说，裂纹面积与试件原始横截面的比值，与应力下降的比值大小相当。”如果使用判据②，记录的寿命显然不是总寿命，因为试件没有断裂。通常认定这样所记录的寿命是裂纹起始的寿命，尽管它并不能和裂纹起始的理论定义直接联系起来。
总之，在使用材料的\(\varepsilon - N\)曲线时，要特别注意试验报告中所注明的失效判据。但是，在现实的使用中，往往只有\(\varepsilon - N\)曲线，却没有失效判据的注明。如同\(S - N\)曲线的讨论一样，合理的认知是，在汽车结构疲劳分析中，使用应变 - 寿命法和\(\varepsilon - N\)曲线计算的疲劳寿命一般是疲劳裂纹生成时的寿命。
图6.28是一个\(\varepsilon - N\)曲线的例子。
不同于应力法受限于高周疲劳部分，应变法考虑了塑性应变，即可以适用于有塑性应变的低周疲劳部分，也可以适用于无塑性应变（或不考虑塑性应变）的高周疲劳部分。
在双对数坐标下，塑性应变（低周疲劳）和弹性应变（高周疲劳）的部分，分别用两条直线给出近似描述，如图6.29所示。
对于弹性应变（高周疲劳）部分，使用Basquin公式和应力 - 应变的线性关系可得到

\[ \varepsilon_{ea}=\frac{\sigma_{f}'}{E}(2N)^{b} \]

需要说明，在Basquin公式和一些其他寿命公式（包括下面的Manson - Coffin公式）中，寿命用载荷反向的次数2N表示。在一个循环中，载荷反向两次。所以N次循环有2N次载荷反向。Basquin公式反映了弹性应变幅值与寿命之间的关系。\(\sigma_{f}'\)称为疲劳强度系数，具有应力量纲；E为弹性模量；b为疲劳强度指数。
在塑性应变（低周疲劳）部分，Manson和Coffin提出的近似为

\[ \lg\varepsilon_{pa}=\lg(\varepsilon_{f}')+c\lg(2N) \]

进而得到

\[ \varepsilon_{pa}=\varepsilon_{f}'(2N)^{c} \]

该方程反映了塑性应变幅值与寿命之间的关系。\(\varepsilon_{f}'\)称为疲劳塑性系数，无量纲；c为疲劳塑性指数。
以上b和c分别为两条渐进直线的斜率，\(\sigma_{f}'/E\)和\(\varepsilon_{f}'\)分别为两条直线与应变幅值轴的交点。对于大多数金属材料，疲劳强度指数b一般在 - 0.06 ~ - 0.14之间，估计时可取中间值 - 0.1；疲劳塑性指数c一般在 - 0.5 ~ - 0.7之间，估计时可取中间值 - 0.6。
于是，\(\varepsilon - N\)曲线中的总应变等于

\[ \varepsilon_{a}=\frac{\sigma_{f}'}{E}(2N)^{b}+\varepsilon_{f}'(2N)^{c} \]

这就是应变 - 寿命的关系式，也被称为Manson - Coffin公式。对应一个应力幅值\(\varepsilon_{a}\)，可以从这个应变 - 寿命公式得到寿命循环次数N。

6.3.3 平均应力对疲劳寿命的影响

类似\(S - N\)曲线，基础的\(\varepsilon - N\)曲线是在平均应力为零（\(R = - 1\)）的情况下测得的。图6.30是一种材料在幅值相同，但有四种不同平均应力情况下的\(\varepsilon - N\)曲线。\(R = - 2\)时，\(\sigma_{min}\)是负值（为压应力），并且绝对值是\(\sigma_{max}\)（为拉应力）的2倍，平均应力为压应力（\(\sigma_{m}\)是负值）。因为压应力对材料不造成疲劳破坏，所以这个材料的疲劳测试结果与平均应力为零（\(R = - 1\)）的情况接近或稍好。\(R = 0\)时，\(\sigma_{min}\)是零，\(\sigma_{max}\)和\(\sigma_{m}\)均为拉应力（正值），寿命下降。\(R = 0.5\)时，\(\sigma_{min}\)、\(\sigma_{max}\)和\(\sigma_{m}\)均为拉应力（正值），寿命下降。
同应力法一样，平均应力对\(\varepsilon - N\)曲线和应变 - 寿命计算有影响，需要进行修正。Smith、Watson、Topper提出的Smith - Watson - Topper方法（简称SWT方法）和Morrow提出的方法是公认比较有效的方法。
SWT方法是1970年提出的。经过SWT修正后的应变 - 寿命公式为

\[ \sigma_{max}\varepsilon_{a}=\frac{(\sigma_{f}')^{2}}{E}(2N)^{2b}+\sigma_{f}'\varepsilon_{f}'(2N)^{b + c} \]

式中\(\sigma_{max}\)——一个循环中应力的最大值；
\(\varepsilon_{a}\)——一个循环中应变的幅值。
可以在一个应力 - 应变的迟滞回线图中把它们表示出来，如图6.31所示。
为了理解SWT平均应力修正以后对\(\varepsilon - N\)曲线和寿命计算带来的影响，将方程（6.41）改写成

\[ \varepsilon_{a}=\frac{\sigma_{f}'}{\sigma_{max}}\frac{\sigma_{f}'}{E}(2N)^{2b}+\frac{\sigma_{f}'}{\sigma_{max}}\varepsilon_{f}'(2N)^{b + c} \]

方程（6.42）与方程（6.40）相比，系数前面都增加了一个比值系数\(\sigma_{f}'/\sigma_{max}\)。因为\(\sigma_{f}'\)近于静态强度极限，大于\(\sigma_{max}\)，所以\(\sigma_{f}'/\sigma_{max}\)大于1，SWT平均应力修正以后的高周疲劳和低周疲劳两段近似的直线与应变幅值轴的交点往上移动。两段直线的斜率也发生了变化。高周疲劳部分的直线斜率由b变为2b；低周疲劳部分的直线斜率由c变为b + c。两段直线更加竖起。\(\varepsilon - N\)曲线如图6.32所示。图6.32中，实线是零平均应力的曲线；虚线是经过平均应力修正以后的曲线。可见得到的寿命将下降。
Morrow方法是1968年在SAE的《疲劳设计手册》中提出的。经过Morrow修正后的应变 - 寿命公式为

\[ \varepsilon_{a}=\frac{\sigma_{f}'-\sigma_{m}}{E}(2N)^{b}+\varepsilon_{f}'(2N)^{c} \]

Morrow方法主要修正处于弹性应变的高周疲劳部分，相当于高周疲劳部分的直线向下平移了\(\sigma_{m}/E\)，高周疲劳的寿命下降，但低周疲劳的寿命无影响。\(\varepsilon - N\)曲线如图6.33所示。
由此可见，SWT方法对高周疲劳和低周疲劳都有修正，Morrow方法只对高周疲劳有修正而对低周疲劳无修正，所以，SWT方法的适用范围更广，在工程实践广泛应用。对于汽车的综合耐久试验和车门猛关试验的疲劳分析，SWT方法显然是一个更合适的方法，因为在这些试验中载荷的变化范围很大，结构应变的幅值范围很广，在弹性和塑性范围里都存在，并且其中短暂的大载荷往往是造成损伤的主要载荷成分，在低周疲劳部分的损伤尤为重要。
【例6.3】 对例5.11中的车身上三个被研究的点（即有限元单元），用包含静态模态的模态叠加法（参见第5章）计算的动态应力和不同的平均应力修正方法（无平均应力修正、SWT方法、Morrow方法）分别计算疲劳寿命。计算的结果列表6.2。
表6.2 三种不同的平均应力的疲劳寿命计算结果

车身上的点	零件名	无平均应力修正	SWT方法	Morrow方法
A	减振器座	2.19	1.94	2.16
B	前轮罩前板	1.26	1.13	1.24
C	散热器安装支架	1.53	1.33	1.50
从表6.2的结果可以看出，这三个车身部件上