5.3 材料的单向和循环应力 - 应变特性分析

5.3 材料的单向和循环应力 - 应变特性分析

利用5.2节所述的试验得到单向和循环应力 - 应变数据后，就要对这些数据进行分析以确定应变 - 寿命分析所需的材料常数。

5.3.1 单向力学特性

以下参数是根据单向拉伸试验确定的：
\(S_{y}\)为0.2%残余应变屈服强度；\(S_{u}\)为极限抗拉强度；%RA为面积缩减率；%EI为延伸率；\(E\)为弹性模量；\(K\)为单向强度系数；\(n\)为单向应变硬化指数；\(\sigma_{f}\)为真实断裂强度；\(\varepsilon_{f}\)为真实断裂韧度。
工程应力(\(S\))和应变(\(e\))的关系通过光滑圆柱形试样单向拉伸试验来确定。工程应力和应变是用试验试样的初始横截面积(\(A_{o}\))和初始长度(\(l_{o}\))定义的。例如，工程应力是：

\[S = \frac{P}{A_{o}} \]

式中：\(P\)为外加载荷。工程应变为

\[e = \frac{l - l_{o}}{l_{o}} = \frac{\Delta l}{l_{o}} \]

式中：\(l\)为即时长度。
有四个参数可以直接根据工程应力 - 应变关系进行测量：屈服强度(\(S_{y}\))，极限抗拉强度(\(S_{u}\))、延伸率(%EI)和断面收缩率(%RA)。典型的工程应力 - 应变曲线如图5.5所示。屈服强度表示弹性特性的极限，通常定义为0.2%塑性应变时的应力。极限抗拉强度是试样承受最大载荷的能力，可以定义为：

\[S_{u} = \frac{P_{max}}{A_{o}} \]

将断裂的拉伸试样收集在一起，通过对最终长度(\(l_{f}\))和最终横截面积(\(A_{f}\))的测量，就可以得出延伸率和断面收缩率。这两个参数是断裂前金属延展性的度量标准，可以定义如下：

\[\%EI = 100\times\frac{l_{f} - l_{o}}{l_{o}} \]

\[\%RA = 100\times\frac{A_{f} - A_{o}}{A_{o}} \]

利用试样的即时横截面积(\(A\))和长度(\(l\))取代了试样的初始尺寸，来定义真实应力(\(\sigma\))和真实应变(\(\varepsilon\))，可以表达如下：

\[\sigma = \frac{P}{A} \]

\[\varepsilon = \int_{l_{o}}^{l}\frac{dl}{l} = \ln\frac{l}{l_{o}} \]

假设试样在拉伸试验中体积不变，真实应力和真实应变可以根据工程应力和工程应变的实测数据利用如下方程进行计算：

\[\sigma = S(1 + e) \]

\[\varepsilon = \ln(1 + e) \]

这些关系式只在试样断面缩颈开始时才有效。
假设总应变可以被分解成弹性应变(\(\varepsilon^{e}\))和塑性应变(\(\varepsilon^{p}\))两个量，对于如图5.6所示的真实应力 - 真实应变曲线，通常采用拉姆博格和奥斯古德1943年推导的方程表示：

\[\varepsilon = \varepsilon^{e} + \varepsilon^{p} = \frac{\sigma}{E} + (\frac{\sigma}{K})^{1/n} \]

式中：\(E\)为弹性模量。材料常数\(K\)和\(n\)描述单向应力 - 塑性应变关系，这两个常数可以利用最小二乘法对图5.7所示的双对数(\(\lg-\lg\))曲线图中所绘制的数据进行拟合来计算。

\[\sigma = K(\varepsilon^{p})^{n} \]

根据ASTM标准E739，在进行最小二乘法拟合时，假设应力的对数在统计上是相关的，而塑性应变的对数在统计上是独立的。2003年，威廉斯等人建议将任何小于阈值0.0005mm/mm的塑性应变忽略，以消除测量误差。
真实断裂强度是在单向拉伸试验中断裂点处的真实应力，并通过采用布里奇曼(Bridgman)修正系数对其缩颈进行修正：

\[\sigma_{f} = \frac{\frac{P_{f}}{A_{f}}}{(1 + \frac{4R}{D_{f}})\ln(1 + \frac{D_{f}}{4R})} \]

式中：\(P_{f}\)为断裂时的载荷；\(R\)为颈缩半径；\(D_{f}\)为断裂点直径。真实断裂延展度\(\varepsilon_{f}\)是最终断裂时的真实应变，可以计算如下：

\[\varepsilon_{f} = \ln(\frac{A_{o}}{A_{f}}) = \ln(\frac{100}{100 - \%RA}) \]

5.3.2 循环材料特性

5.3.2.1 瞬态循环响应

材料的瞬态循环响应描述了材料在循环载荷作用下抵抗变形的变化过程。如果一种材料重复接受对称循环应变控制的载荷循环的加载作用，就会以下面的一种方式做出响应：周期性硬化、周期性软化、保持稳定或是以上几种响应方式的组合。
图5.8和图5.9分别示出了在应变控制的加载作用下瞬时循环硬化和瞬时循环软化的特性。在瞬态循环硬化的过程中，在每个连续的应变反向中所产生的应力随着循环次数的增加而增加。在瞬态循环软化过程中，应力随着循环次数的增加而减少。在这两种情况中，外加应力的变化率将会逐渐降低，应力幅将会达到一个稳定的水平(一种稳定状态)，并且在以后的疲劳寿命过程中会继续保持稳定，直到出现第一道疲劳裂纹为止。相对于整个疲劳寿命，由于这种瞬态响应的循环次数百分比非常小，瞬态循环特性采用局部应变 - 寿命方法的循环稳态特性进行处理。
可以相信，这种瞬态特性与材料的金属晶格错位子格的稳定性相关。总之，对于像铝合金之类的低位错密度软金属材料倾向于硬化；而像钢之类的硬金属材料则倾向于软化。

5.3.2.2 稳态循环应力 - 应变特性

由稳态循环应力 - 应变响应确定的特性如下：\(\sigma'_{y}\)为0.2%残余应变循环屈服强度；\(K'\)为循环强度系数；\(n'\)为循环应变硬化指数。
疲劳寿命的特征可以利用稳态特性表示，因为在恒应变幅控制的试验中，在初始循环阶段即整个疲劳寿命最初的几个百分点处，在试样迅速硬化或软化之后，应力 - 应变关系就变得稳定。循环稳态应力 - 应变响应是一个滞后回线，与图5.10所示的相同。在加载和卸载过程中作用在材料上的弹性功和塑性功，由整个应变范围(\(\Delta\varepsilon\))和整个应力范围(\(\Delta\sigma\))定义的滞后回线表示。通常，稳定的滞后回线取自疲劳寿命的1/2处。
如图5.11所示，当一簇具有多种应变幅水平的稳定滞后回线绘制在相同坐标轴系中时，循环应力 - 应变由滞后回线尖端的轨迹定义，并具有与单向应力 - 应变响应相似的如下形式：

\[\varepsilon = \varepsilon^{e} + \varepsilon^{p} = \frac{\sigma}{E} + (\frac{\sigma}{K'})^{1/n'} \]

式(5.3.14)中，'表示与循环特性相关的参数，以区分那些与单向特性相关的参数。
循环屈服应力(\(\sigma'_{y}\))是在循环应力 - 应变曲线中塑性应变为0.2%时的应力。通过建立一条与在零应力点处穿过0.2%应变残余变形的弹性模量平行的直线，确定该应力值。在该直线和循环应力 - 应变曲线交叉处的应力被定为循环屈服应力。
马辛(Masing)1976年的假设说明，应力幅 - 应变幅曲线可以用循环应力 - 应变曲线描述，即：

\[\varepsilon_{a} = \varepsilon_{a}^{e} + \varepsilon_{a}^{p} = \frac{\sigma_{a}}{E} + (\frac{\sigma_{a}}{K'})^{1/n'} \]

同时还说明，材料在受拉和受压时还应该具有对称的特性。这对于许多同类的金属材料均是正确的。方程(5.3.15)可以被改写为用应变区间和应力区间表示的形式：

\[\frac{\Delta\varepsilon}{2} = \frac{\Delta\varepsilon^{e}}{2} + \frac{\Delta\varepsilon^{p}}{2} = \frac{\Delta\sigma}{2E} + (\frac{\Delta\sigma}{2K'})^{1/n'} \]

这个方程可以被简化成如下稳定滞后回线方程：

\[\Delta\varepsilon = \frac{\Delta\sigma}{E} + 2(\frac{\Delta\sigma}{2K'})^{1/n'} \]

方程(5.3.17)已经被广泛用于描述和跟踪在变幅载荷条件下的应力 - 应变特性。
循环强度系数\(K'\)和循环应变硬化指数\(n'\)分别是最佳拟合线的截矩和斜率，采用双对数坐标图描述真实应力幅\(\frac{\Delta\sigma}{2}\) - 真实塑性应变幅\(\frac{\Delta\varepsilon^{p}}{2}\)数据的关系：

\[\frac{\Delta\sigma}{2} = K'(\frac{\Delta\varepsilon^{p}}{2})^{n'} \]

式(5.3.18)中，真实塑性应变幅采用如下方程计算：

\[\frac{\Delta\varepsilon^{p}}{2} = \frac{\Delta\varepsilon}{2} - \frac{\Delta\sigma}{2E} \]

在利用最小二乘法拟合来确定\(K'\)和\(n'\)时，真实塑性应变幅的对数在统计上是独立变量，而应力幅的对数则是统计相关变量。威廉斯等人推荐，在回归分析中忽略小于0.0005mm/mm的塑性应变幅(威廉斯等人，2003年)。
循环应力 - 应变曲线反映了材料抗循环变形的能力，可以与单向应力 - 应变曲线区分开。叠加的单向和循环曲线如图5.12所示。具有高单向应变硬化指数(\(n>0.2\))的金属材料将会硬化，而具有低单向应变硬化指数的金属材料(\(n<0.1\))将会周期性地软化。有一个简单的经验方法，如果\(S_{u}/S_{y}>1.4\)时，材料就会硬化；如果\(S_{u}/S_{y}<1.2\)时，材料就会软化；当\(S_{u}/S_{y}\)的比值介于1.2和1.4之间时，材料既可以呈现出硬化现象也可以呈现出软化现象，或者两者兼有。这些数据表明，利用单向材料特性进行疲劳寿命预测时，有时可能得到不准确的结果。
例5.1 由SAE 1137碳钢制成的有切口零件具有如下材料特性：\(E = 209000MPa\)，\(K' = 1230MPa\)，\(n' = 0.161\)。当零件承受循环载荷作用时，置于切口根部的应变片记录对称循环恒应变幅为10000微应变(\(\mu\varepsilon\))。在切口根部模拟滞后应力 - 应变响应。
解：为确定应力 - 应变响应和滞后回线，必须首先确定初始载荷状态，然后是初始变向以及以下所有状态。首先考虑初始载荷。
初始加载从\(0.0\mu\varepsilon\)开始，然后增至第一个\(10000\mu\varepsilon\)。为确定在初始加载阶段根据应力 - 应变关系生成的曲线，对沿着应变路线分布的若干点进行分析是非常重要的。对于初始加载，采用0.002到0.01应变的步距。为确定每一个应变中间步幅的应力，需要采用循环应力 - 应变方程：

\[\varepsilon_{1} = \frac{\sigma_{1}}{E} + (\frac{\sigma_{1}}{K'})^{\frac{1}{n'}} \]

例如：当应变从0变化到0.01时，可以确定应变为0.01时的应力\(\sigma_{1}\)：

\[0.01 = \frac{\sigma_{1}}{209000} + (\frac{\sigma_{1}}{1230})^{\frac{1}{0.161}} \]

解\(\sigma_{1}\)：

\[\sigma_{1} = 557.46MPa \]

表5.1示出了在初始加载条件下\(\sigma\)和\(\varepsilon\)在每一个增量处的值。在定义了初始加载条件之后，就可以转向第一个载荷反向。另外，确定曲线是非常重要的，以便对沿着应变分布的若干点进行研究。为确定应力变化，采用如下马辛模型：

\[\Delta\varepsilon = \frac{\Delta\sigma}{E} + 2(\frac{\Delta\sigma}{2K'})^{\frac{1}{n'}} \]

例如：当应变从0.01变化到 - 0.01时，与应变增量\(\Delta\varepsilon = 0.02\)相对应的应力增量\(\Delta\sigma\)，可用如下方程获得：

\[0.02 = \frac{\Delta\sigma}{209000} + 2(\frac{\Delta\sigma}{2\times1230})^{\frac{1}{0.161}} \]

解方程式，得到\(\Delta\sigma\)：

\[\Delta\sigma = 1114.92MPa \]

由于马辛模型计算的是应力变化，为确定在该点(\(\varepsilon = - 0.01\))上的应力，必须将这一变向中的每一应力值的变化与基准应力值\(\sigma = 557.46MPa\)进行对比，即这一变向应力的终点。

\[\sigma_{2} = \sigma_{1} - \Delta\sigma = 557.46 - 1114.92 = - 557.46MPa \]

表5.2示出了在第一个加载反向中每一增量的\(\sigma\)和\(\varepsilon\)的值。关于基准点，对每一阶的所有应力和应变增量进行了计算。
对于第二个加载反向，采用了与第一个加载反向相同的程序。例如，当应变从 - 0.010变化到0.010时，可以采用如下方程来确定与\(\Delta\varepsilon = 0.020\)相对应的\(\Delta\sigma\)：

\[0.02 = \frac{\Delta\sigma}{209000} + 2\times(\frac{\Delta\sigma}{2\times1230})^{\frac{1}{0.161}} \]

解方程式，得到\(\Delta\sigma\)：

\[\Delta\sigma = 1114.92MPa \]

接着，当与基准应力(\(\sigma_{2} = - 557.46MPa\))进行对比时，采用如下方程计算该点的应力：

\[\sigma_{3} = \sigma_{2} + \Delta\sigma = - 557.46 + 1114.92 = 557.46MPa \]

表5.3示出了在第二个变向中每一增量的\(\sigma\)和\(\varepsilon\)的值。根据初始的、第一个和第二个变向计算的这些点，可以绘制出如图5.13所示的滞后回线曲线图。局部\(\sigma - \varepsilon\)坐标就位于各自的基准点上。
表5.2 第一个加载反向：真实应力和应变数据点

\(\varepsilon\)	\(\Delta\varepsilon\)	\(\Delta\sigma/MPa\)	\(\sigma/MPa\)
0.010	基准	0.0	557.46
0.008	0.002	411.70	145.76
0.006	0.004	685.96	-128.5
0.004	0.006	815.30	-257.84
0.002	0.008	894.06	-336.6
0.000	0.010	950.70	-393.24
-0.002	0.012	995.12	-437.66
-0.004	0.014	1031.79	-474.33
-0.006	0.016	1063.12	-505.66
-0.008	0.018	1090.52	-533.06
-0.010	0.020	1114.92	-557.46
表5.3 第二个加载反向：真实应力和应变数据点
\(\varepsilon\)	\(\Delta\varepsilon\)	\(\Delta\sigma/MPa\)	\(\sigma/MPa\)
----	----	----	----
-0.010	基准	0.0	- 557.46
-0.008	0.002	411.70	- 145.76
-0.006	0.004	685.96	128.5
-0.004	0.006	815.30	257.84
-0.002	0.008	894.06	336.6
0.000	0.010	950.70	393.24
0.002	0.012	995.12	437.66
0.004	0.014	1031.79	474.33
0.006	0.016	1063.12	505.66
0.008	0.018	1090.52	533.06
0.010	0.020	1114.92	557.46

5.3.2.3 恒幅疲劳特性

由稳定滞后回线和应变 - 寿命数据确定的特性如下：
\(\sigma'_{f}\)为疲劳强度系数；\(b\)为疲劳强度指数，金属材料的指数通常在 - 0.04 ～ - 0.15之间变化；\(\varepsilon'_{f}\)为疲劳韧度系数；\(c\)为疲劳韧度指数，金属材料的指数通常在 - 0.3 ～ - 1.0之间变化；\(2N_{T}\)为用反向次数表示的过渡疲劳寿命。
根据莫洛1965年的建议，总应变幅(\(\varepsilon_{a}\))和用疲劳反向次数表示的疲劳寿命(\(2N_{f}\))之间的关系可以用如下方程表示：

\[\varepsilon_{a} = \varepsilon_{a}^{e} + \varepsilon_{a}^{p} = \frac{\sigma'_{f}}{E}(2N_{f})^{b} + \varepsilon'_{f}(2N_{f})^{c} \]

（5.3.20）
方程(5.3.20)被称为应变 - 寿命方程，是基于应变法确定疲劳的基础。这个方程是两个独立曲线的加和，即弹性应变幅 - 寿命(\(\varepsilon_{a}^{e}-2N_{f}\))曲线和塑性应变幅 - 寿命曲线(\(\varepsilon_{a}^{p}-2N_{f}\))。用弹性模量除巴斯坎1910年的方程，可以得到弹性应变幅 - 寿命曲线的方程：

\[\varepsilon_{a}^{e} = \frac{\Delta\varepsilon^{e}}{2} = \frac{\sigma_{a}}{E} = \frac{\sigma'_{f}}{E}(2N_{f})^{b} \]

（5.3.21）
曼森(1953年)和科芬(1954年)几乎同时提出了塑性应变幅 - 寿命曲线方程：

\[\varepsilon_{a}^{p} = \frac{\Delta\varepsilon^{p}}{2} = \varepsilon'_{f}(2N_{f})^{c} \]

（5.3.22）
当用双对数坐标绘制时，两个曲线都变为直线，如图5.14所示。除弹性模量\(E\)之外，基线应变 - 寿命表达式由四个回归参数定义：疲劳强度系数(\(\sigma'_{f}\))、疲劳强度指数(\(b\))、疲劳韧度系数(\(\varepsilon'_{f}\))和疲劳韧度指数(\(c\))。
当利用最小二乘法进行确定时，这些参数在试验数据范围内是有效的。这就强调要求，试验数据必须具有较为宽广的范围，在弹性应变显著的区域和在塑性应力突出的区域，都要求拥有数量充足的数据点。在此推荐的方法是，利用线性模型对数据的每一线性区间进行拟合，减少了对低周和高周数据的误解，具有较好的结果，而不是利用非线性最小二乘方法计算应变 - 寿命模型，即郎格莱 - 弗戈(Langlais and Vogel)模型。数据线性区间的选择取决于过渡疲劳寿命。
过渡疲劳寿命是指塑性应变幅等于弹性应变幅时的疲劳寿命。如图5.14所示，过渡疲劳寿命(\(2N_{T}\))是弹性应变 - 寿命曲线和塑性应变 - 寿命曲线的交叉点。在这种情况下，25000次反复的疲劳寿命正是过渡寿命可能发生的一个示例。在该点左侧的区域，即疲劳寿命小于过渡疲劳寿命的区域，被认为是塑性应变突出的区域，即所谓的低周疲劳区域(LCF)，在右侧的区域，即疲劳寿命高于过渡疲劳寿命的区域，是弹性应变显著的区域，被称为高周疲劳区域(HCF)。图5.15示出了多种硬度钢的过渡疲劳寿命数量级的变化。由此可见，硬度和强度极限较高的钢，过渡疲劳寿命较低。
以下两个例子展示了如何利用最小二乘法来确定应变 - 寿命疲劳参数的过程。与ASTM标准E739不同的是，在此引入了一种对应变 - 寿命疲劳数据进行统计分析的方法，其特点如下：
（1）线性回归模型仅局限于数据线性区间。例如，不是低周疲劳数据，就是高周疲劳数据。
（2）建议塑性应变幅的阈值为0.0005。为避免测量误差，低于该值的数据点可忽略。
（3）采用基于欧文(Owen)容许区间修正的方法，对疲劳数据统计的变差进行量化处理。
在这些例子中，过渡疲劳寿命的引入对精确确定疲劳强度(\(b\)和\(\sigma'_{f}\))参数和疲劳韧度参数(\(c\)和\(\varepsilon'_{f}\))都是非常重要的。对于弹性应变显著的区域和塑性应变突出的区域都需要加以重视。利用过渡疲劳寿命作为这两个区域的边界，在每个区域的数据点都可以被精确地表示，并且在该分析中进行适当的评估。