频域疲劳计算

频域疲劳计算是一种基于频域响应分析的结构疲劳评估方法，适用于随机载荷作用下的结构寿命预测。以下是频域疲劳计算的主要步骤及相关公式：

1. 频域应力响应

通过频域分析（如傅里叶变换或功率谱密度法）计算结构的应力响应。

• 输入： 载荷的功率谱密度（PSD） $ S_{xx}(f) $。
• 输出： 应力响应的功率谱密度 $ S_{\sigma\sigma}(f) $。
  公式：

\[S_{\sigma\sigma}(f) = |H(f)|^2 S_{xx}(f) \]

其中 $ H(f) $ 是结构的传递函数，表示应力响应与输入载荷的频率响应关系。

2. 应力范围的概率分布

使用应力响应的功率谱密度 $ S_{\sigma\sigma}(f) $ 计算应力范围的概率分布。

• 零阶谱矩 $ m_0 $：

\[m_0 = \int_0^\infty S_{\sigma\sigma}(f) \, df \]

• 二阶谱矩 $ m_2 $：

\[m_2 = \int_0^\infty f^2 S_{\sigma\sigma}(f) \, df \]

• 四阶谱矩 $ m_4 $：

\[m_4 = \int_0^\infty f^4 S_{\sigma\sigma}(f) \, df \]

---

3. 应力范围的统计特性

计算应力范围的统计特性，如均值、标准差和峰值因子。

• 应力范围标准差 $ \sigma_S $：

\[\sigma_S = \sqrt{m_0} \]

• 峰值因子 $ \alpha $：

\[\alpha = \frac{\text{峰值应力}}{\sigma_S} \]

---

4. 应力范围的概率密度函数

假设应力范围服从Rayleigh分布或Dirlik分布等。

• Rayleigh分布：

\[f(S) = \frac{S}{m_0} \exp\left(-\frac{S^2}{2m_0}\right) \]

• Dirlik分布：

\[f(S) = \frac{D_1}{\sqrt{m_0}} \exp\left(-\frac{Z}{Q}\right) + \frac{D_2 Z}{R^2} \exp\left(-\frac{Z^2}{2R^2}\right) + D_3 Z \exp\left(-\frac{Z^2}{2}\right) \]

其中 $ Z = \frac{S}{\sqrt{m_0}} \(，\) D_1, D_2, D_3, Q, R $ 是与谱矩相关的参数。

5. 疲劳损伤计算

使用Miner线性累积损伤理论和S-N曲线计算疲劳损伤。

• S-N曲线：

\[N = C S^{-m} \]

其中 $ N $ 是疲劳寿命，$ S $ 是应力范围，$ C $ 和 $ m $ 是材料常数。

• 疲劳损伤 $ D $：

\[D = \int_0^\infty \frac{f(S)}{N(S)} \, dS \]

对于Rayleigh分布：

\[D = \frac{\nu T}{C} \left( \sqrt{2 m_0} \right)^m \Gamma\left(1 + \frac{m}{2}\right) \]

其中 $ \nu $ 是载荷循环频率，$ T $ 是时间，$ \Gamma $ 是Gamma函数。

6. 疲劳寿命预测

根据疲劳损伤 $ D $ 预测结构的疲劳寿命。

• 疲劳寿命 $ T_{\text{life}} $：

\[T_{\text{life}} = \frac{1}{D} \]

---

总结

频域疲劳计算的核心步骤如下：

1. 频域应力响应：$ S_{\sigma\sigma}(f) = |H(f)|^2 S_{xx}(f) $
2. 谱矩计算：$ m_0, m_2, m_4 $
3. 应力范围统计特性：$ \sigma_S = \sqrt{m_0} $
4. 应力范围概率密度函数：Rayleigh分布或Dirlik分布
5. 疲劳损伤计算：$ D = \int_0^\infty \frac{f(S)}{N(S)} , dS $
6. 疲劳寿命预测：$ T_{\text{life}} = \frac{1}{D} $
   这些步骤结合了频域分析和疲劳理论，适用于随机载荷作用下的结构疲劳评估。