疲劳理论公式

威布尔分布

威布尔分布（Weibull distribution）在可靠性工程、生存分析等领域有广泛应用。

1. 概率密度函数（PDF）

   • 威布尔分布的概率密度函数为：
   \[f(x;\lambda,\beta) = \begin{cases} \frac{\beta}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\beta - 1}e^{-(x/\lambda)^\beta}, & x\geq0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

   其中：

   • \(\beta > 0\)是形状参数（shape parameter），决定了分布的形状。
   • \(\lambda> 0\)是尺度参数（scale parameter），决定了分布的尺度。

2. 累积分布函数（CDF）

   • 威布尔分布的累积分布函数为：
   \[F(x;\lambda,\beta)= \begin{cases} 1 - e^{-(x/\lambda)^\beta}, & x\geq0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

   累积分布函数给出了随机变量\(X\)小于或等于\(x\)的概率。

3. 可靠性函数（Survival Function）

   • 可靠性函数也叫生存函数，它是累积分布函数的补集，表示随机变量\(X\)大于\(x\)的概率，即
   \[R(x;\lambda,\beta)=1 - F(x;\lambda,\beta)=e^{-(x/\lambda)^\beta}, \quad x\geq0 \]

形状参数\(\beta\)和尺度参数\(\lambda\)的影响

• 形状参数\(\beta\)的影响

  • 当\(\beta < 1\)时，概率密度函数单调递减，常用于描述早期失效阶段。
  • 当\(\beta = 1\)时，威布尔分布退化为指数分布，常用于描述随机失效阶段。
  • 当\(\beta>1\)时，概率密度函数先增后减，有一个峰值，常用于描述损耗失效阶段。

• 尺度参数\(\lambda\)的影响

  • \(\lambda\)的增加会使整个分布在横轴上向右移动，即延长了失效时间。

Goodman修正

Goodman 是材料疲劳分析中的一种修正方法，用于预测在循环载荷作用下材料的疲劳寿命。它考虑了平均应力（或称为静应力）对疲劳强度的影响。根据这个理论，当材料承受交变应力时，其疲劳极限会随着平均应力的增加而降低。

Goodman 线通常被描绘在一个S-N图上，其中横坐标为应力比（R = σ_min / σ_max），纵坐标为最大应力幅度（σ_max）。在这个图中，Goodman线是一条连接材料的静态强度极限和疲劳极限的直线。对于一些材料，可能会使用Gerber 或者 Soderberg 线作为替代，因为它们可能更准确地表示某些材料的行为。

修正后的公式可以表达为：

\[\frac{\sigma_a}{\sigma_f} + \frac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1 \]

这里：

• $ \sigma_a $ 是应力振幅
• $ \sigma_f $ 是材料的疲劳极限（在完全反向载荷条件下）
• $ \sigma_m $ 是平均应力
• $ \sigma_u $ 是材料的拉伸强度

此公式表明，如果平均应力增加，则允许的最大应力振幅就会减少，反之亦然。当平均应力为零时，即为纯交变应力情况，这时的疲劳极限就等于材料的疲劳极限 $ \sigma_f $。

工程师们使用这种修正来评估结构元件在循环载荷下的可靠性，并据此设计以确保安全性和耐用性。需要注意的是，实际应用中还应考虑其他因素如表面状态、尺寸效应、环境影响等对疲劳性能的影响。