振动分类与求解
目录
1.振动分类
1.1 无阻尼振动微分方程
\[m\ddot{x}+kx=F(t)
\]
1.2 自由振动微分方程
\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0
\]
1.3 受迫振动微分方程
\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)
\]
1.4 简谐输入的振动微分方程
\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\sin(\omega t)
\]
2.振动微分方程的解
2.1 无阻尼振动微分方程的解
\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0
\]
令 \(x=e^{rt}\)，代入得
\[r^2+\frac{k}{m}=0
\]
解得
\[r_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}
\]
则
\[x_{h}=C_{1}e^{\sqrt{\frac{k}{m}}t}+C_{2}e^{-\sqrt{\frac{k}{m}}t}
\]
2.2 自由振动微分方程的解
\[\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0
\]
令 \(x=e^{rt}\)，代入得
\[r^2+\frac{c}{m}r+\frac{k}{m}=0
\]
解得
\[r_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4\frac{k}{m}}}{2m}
\]
则
\[x_{h}=C_{1}e^{\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4\frac{k}{m}}}{2m}t}+C_{2}e^{\frac{c\pm\sqrt{c^2-4\frac{k}{m}}}{2m}t}
\]
2.3 受迫振动微分方程的解
求解非齐次微分方程
\[\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=F(t)
\]
令 \(x_{h}=x_{h0}+x_{h1}\)，其中 \(x_{h0}\) 为齐次微分方程的解，\(x_{h1}\) 为非齐次微分方程的特解。
令 \(x_{h1}=A\sin(\omega t+\phi)\)，代入得
\[-A\omega^2\sin(\omega t+\phi)+\frac{c}{m}A\omega\cos(\omega t+\phi)+\frac{k}{m}A\sin(\omega t+\phi)=F(t)
\]
解得
\[\omega^2=\frac{k}{m}-\frac{c}{m}^2
\]
解得
\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c}{m}^2}
\]
则 $$ x_{h}=x_{h0}+A\sin(\omega t+\phi) $$
未完成#####################################
2.4 简谐输入的振动微分方程的解
\[\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=F_0\sin(\omega t)
\]
令 \(x_{h}=x_{h0}+x_{h1}\)，其中 \(x_{h0}\) 为齐次微分方程的解，\(x_{h1}\) 为非齐次微分方程的特解。
令 \(x_{h1}=A\sin(\omega t+\phi)\)，代入得
\[\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=F_0\sin(\omega t)
\]
\[-A\omega^2\sin(\omega t+\phi)+\frac{c}{m}A\omega\cos(\omega t+\phi)+\frac{k}{m}A\sin(\omega t+\phi)=F_0\sin(\omega t)
\]
解得
\[\omega^2=\frac{k}{m}-\frac{c}{m}^2
\]
解得
\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c}{m}^2}
\]
\[
\]
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