卡尔曼滤波

目录

• 系统状态与测量观测
  • 1.系统方程
  • 2. 过程噪声
  • 3. 观测向量
  • 4. 测量噪声
  • 参考文献

系统状态与测量观测

1.系统方程

线性离散系统的状态方程（带噪声）

\[x_{[k]}=Ax_{[k-1]}+Bu_{[k-1]}+w_{[k-1]} \\ \]

\(x_{[k]}\)为为\(n\times1\)​状态向量，

A为 \(n\times n\)状态矩阵，

$ u_ {[k-1]}$为输入向量，

B为 $n\times p $输入矩阵；

\(w_{[k-1]}\)为\(n\times1\)​过程噪声.

2. 过程噪声

过程噪声服从期望为0，协方差矩阵为 \(Q_c\)​的正态分布

\[w\sim N(0,Q_{\mathrm{c}}) \]

协方差矩阵

\[Q_{\mathrm{c}}= E(ww^{\mathrm{T}})=E\left( \begin{bmatrix} w_{1}\\\vdots\\w_{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_{1}&\cdots&w_{n} \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} \sigma_{w_{1}}^{2}&\cdots&\sigma_{w_{1}w_{n}}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sigma_{w_{n} w_{1}}&\cdots&\sigma_{w_{n}}^{2} \end{bmatrix} \]

如果过程噪声相互独立，那么元素之间的协方差 $\sigma_{w_i}{w_j} $​​为0. 上述方程简化为对角阵。

3. 观测向量

定义观测向量为

\[z_{[k]}=H_{\mathrm{~m}}x_{[k]}+v_{[k]} \]

\(z_[k]\)为\(n\times1\)观测向量；

\(H_\mathrm{m}\)为\(n\times n\)​观测矩阵，下标 m 代表测量( measure)。

这一矩阵代表了观测值(可以是从传感器读取的值)与状态向量之间的线性关系。

4. 测量噪声

\(v_{[k]}\)为测量噪声(measurement noise),是一个 \(n\times1\) 向量，它服从于期望为 0、协方差矩阵为\(R_\mathrm{c}\)的正态分布，即

\[v\sim N(0,R_c) \]

\[R_c=E(vv^T)=E\left(\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}\sigma_{v_1}^2&\cdots&\sigma_{v_1v_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma_{v_nv_1}&\cdots&\sigma_{v_n}^2\end{bmatrix} \]

参考文献

控制之美2