向量和矩阵的坐标变换(下标记法)7

\(l_{ij}\) 是两个坐标系的旋转矩阵，为正交矩阵。

\[e_i^{\prime}=l_{ij}e_j \]

对于在坐标系{e}中存在的向量 u 和v 存在关系

\[u_i=a_{ij}\nu_j \]

其在坐标系\(\{e^{\prime}\}\)存在关系

\[u'_i=a'_{ij}\nu'_j \]

那么

\[\vec{v}=v_i^{\prime}l_{ij}\vec{e}_j \]

\[v_j=v_i^{\prime}l_{ij}=l_{ij}v_i^{\prime} \]

代入得

\[\{u'\}= [Q]\{u\}\\ \qquad =[Q][a]\{v\} \\ \qquad =[Q][a][Q]^T\{v'\} \]

和（3）比较

\[[a']=[Q][a][Q]^T \]

同理可得

\[[a]=[Q]^T[a][Q] \]