变分方法7

变分方法

对连续介质问题，位置函数的\(u\)的泛函为

\[\Pi=\int_{\Omega}\boldsymbol{F}\Bigg(u,\frac{\partial u}{\partial x},\cdots\Bigg)\mathrm{d}\boldsymbol{\Omega}+\int_{\Gamma}\boldsymbol{E}\Bigg(u,\frac{\partial u}{\partial x},\cdots\Bigg)\mathrm{d}\Gamma \]

其中，F和E是特定的算子，\(\Omega\) 是求解域,\(\Gamma\) 是 \(\Omega\) 的边界.

在变分方法中，连续介质问题的解u是使得泛函\(\Pi\) 对于微小变化的\(\delta u\)取驻值，即泛函的变分等于0。

\[\delta\Pi=0 \]

对于可以运行变分原理的问题，

对于可以运用变分原理的问题，可以建立其得到近似解的如下方法. 未知函数的近似解可表示成带有待定参数的试探函数。

\[u\approx\tilde{u}=\sum_{i=1}^{n}N_{i}\alpha_{i}=N\alpha \]

式中，\(\alpha_i\)为待定参数，\(N_i\)是已知的函数序列.将式(1-18)代入式(1-16),得到用试探函数\(\tilde{u}\) 和待定参数\(\alpha\) 表示的泛函\(\Pi\).泛函的变分为零相当于将泛函对关于待定参数进行全微分，并令其等于0。即

\[\delta\prod=\frac{\partial\prod}{\partial\alpha_{1}}\delta\alpha_{1}+\frac{\partial\prod}{\partial\alpha_{2}}\delta\alpha_{2}+\cdots+\frac{\partial\prod}{\partial\alpha_{n}}\delta\alpha_{n}=0 \]

由于\(\delta\alpha_1,\delta\alpha_2,\cdotp\cdotp\cdotp,\delta\alpha_n\)是任意的,式(1-19)成立时必有\(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_1},\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_2},\cdotp\cdotp\cdotp,\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_n}\)都等于零,因而有

\[\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha}=\begin{bmatrix}\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_1}\\\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_2}\\\vdots\\\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_n}\end{bmatrix}=\mathbf{0} \]

由上述与待定参数的数目相等的方程组可求出\(\alpha\).

如果在泛函\(\Pi\)\中u 及其导数的最高阶次为二阶,则称泛函 \(\Pi\)为二次泛函,工程中的许多问题都属于二次泛函.对于二次泛函问题,式(1-20)退化为一线性方程组

\[\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha}=K\alpha-P=0 \]

对上式进行变分，得

\[ \delta\biggl(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha}\biggr)=\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial\alpha_1}\biggl(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_1}\biggr)\delta\alpha_1+\frac{\partial}{\partial\alpha_2}\biggl(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_1}\biggr)\delta\alpha_2+\cdots\\\vdots\\\frac{\partial}{\partial\alpha_1}\biggl(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_n}\biggr)\delta\alpha_1+\frac{\partial}{\partial\alpha_2}\biggl(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha_n}\biggr)\delta\alpha_2+\cdots\end{bmatrix}=K\delta\alpha \]

由矩阵K的子矩阵

\[K_{ij}=\frac{\partial^{2}\prod}{\partial\alpha_{i}\partial\alpha_{j}} ,\quad K_{ji}=\frac{\partial^{2}\prod}{\partial\alpha_{j}\partial\alpha_{i}} \]

可知

\[K_{ij}=K_{ji}^{\mathrm{T}} \]

式\(\frac{\partial\Pi}{\partial\alpha}=K\alpha-P=0\)可以近似泛函表示成

\[\Pi=\frac{1}{2}\alpha^{\mathrm{T}}K\alpha-\alpha^{\mathrm{T}}P \]

对\(\Pi=\frac{1}{2}\alpha^{\mathrm{T}}K\alpha-\alpha^{\mathrm{T}}P\)进行变分，得

\[\delta \Pi=\frac{1}{2}\delta\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\alpha}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{K}\delta\boldsymbol{\alpha}-\delta\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P} \]

由于K的对称性，有

\[\delta\alpha^{\intercal}K\alpha=\alpha^{\intercal}K\delta\alpha \]

因而

\[\delta\Pi=\delta\alpha^{\mathrm{T}}(K\alpha-P)=0 \]

因为\(\delta\boldsymbol{\alpha}\) 是任意的,可得 \(\boldsymbol{K\alpha}-\boldsymbol{P}=0\),即为式(1-25)

例子 对于问题

\[\begin{cases}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+u=-x&(0\leqslant x\leqslant1)\\u(0)=0,&u(1)=0\end{cases} \]

建立变分原理.

该问题变分可表示为

\[\delta\Pi=\int_0^1\biggl(-\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}-u-x\biggr)\delta u\mathrm{d}x+\biggl[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\delta u\biggr]_0^1 \]

对方程中积分的第一项进行分布积分，得

\[\delta\Pi=\int_0^1\biggl(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}(\delta u)}{\mathrm{d}x}-u\delta u-x\delta u\biggr)\mathrm{d}x \]

利用变分算子的交换性

\[\delta \Pi=\delta\int_{0}^{1}\Bigg(\frac{1}{2}\Bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Bigg)^{2}-\frac{1}{2}u^{2}-xu\Bigg)\mathrm{d}x \]

于是，可得泛函

\[\Pi=\int_{0}^{1}\Bigg(\frac{1}{2}\Bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Bigg)^{2}-\frac{1}{2}u^{2}-xu\Bigg)\mathrm{d}x \]

参考文献

Matlab有限元结构动力学分析与工程应用-徐斌