机电系统的相似性
物理量符号说明
\(\bullet\) 通过型变量：\(F=\)力，\(T=\)扭矩，\(i=\)电流，\(Q=\)流体体积流速，\(q=\)热流速
\(\bullet\) 跨越型变量：\(v=\)平动速度，\(\omega=\)角速度，\(v=\)电压，\(P=\)压强，\({T}=\)温度
\(\bullet\) 感应变量：\(L=\)电感，\(1/k=\)平动或者转动刚度的倒数，\(I=\)流体惯量
\(\bullet\) 储能变量：\(C=\)电容，\(M=\)质量，\(J=\)转动惯量，\(C_f=\)流体容量\(, C_t=\)热容
\(\bullet\) 耗能变量：\(R=\)电阻，\(b=\)黏性摩擦系数，\(R_f=\)流阻，$R_t=热阻
弹簧阻尼质量系统
\[M\frac{\mathrm d^2y(t)}{\mathrm dt^2} + b\frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt} + ky(t) = r(t)
\]
用位移速度作为变量 \(v(t)= \frac {d y(t) }{dt}\)，可以得到
\[M\frac{\mathrm dv(t)}{\mathrm dt} + bv(t) + k\int_0^tv(t) \mathrm dt = r(t)
\]
RLC电路
\[\frac{v(t)}{R} + C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{L} \int_0^tv(t) \mathrm{d}t = r(t)
\]
质量的初始位移 $ y(0)=y_0 $, 松开约束，系统的动态响应
\[y(t) = K_1\mathrm{e}^{-\alpha_1t} \sin(\beta_1t + \theta_1)
\]
档RLC电流恒定，\(r(t)=I\) 时，RLC输出电压
\[v(t) = K_{2}\mathrm{e}^{-\alpha_{2}t}\cos(\beta_{2}t + \theta_{2})
\]
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拉普拉变换
拉普拉斯变换定义
\[F(s) = \int_{0^-}^\infty f(t)\mathrm{e}^{-st} \mathrm{d}t = \mathscr{L}\{f(t)\}
\]
\[f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-\mathrm{j}\infty}^{\sigma+\mathrm{j}\infty}F(s)\mathrm{e}^{+st} \mathrm{d}s
\]
弹簧阻尼质量系统
\[M\Bigg(s^2Y(s) - sy(0^-) - \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(0^-)\Bigg) + b(sY(s) - y(0^-)) + kY(s) = R(s)
\]
如果初始条件为 $ \quad r(t)=0,\quad y(0-)=\left.y_0,\quad\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0-}=0$
可以得到
\[Ms^2Y(s) - Msy_0 + bsY(s) - by_0 + kY(s) = 0
\]
求解可得
\[Y(s) = \frac{(Ms + b)y_0}{Ms^2 + bs + k} = \frac{p(s)}{q(s)}
\]
令分母为0，得到的方程为系统的特征方程。
档k/M=2，b/M=3 上式变为
\[Y(s) = \frac{(s + 3)y_0}{(s + 1)(s + 2)}
\]
因式分解
\[Y(s)=\frac{k_1}{s + 1} + \frac{k_2}{s + 2}
\]
其中，\(k_{1}\)和\(k_{2}\)为展开式的待定系数。系数\(k_i\)又称为留数，可以用下面的方法求得：将式乘以含有\(k_i\)的部分分式的分母，然后将\(s\)取为相应的极点，所得新分式的值即为\(k_i\), 当\(y_0=1\)时， 按上述方法可以求得
\[k_1=\left.\frac{(s-s_1)p(s)}{q(s)}\right|_{s=s_1}=\left.\frac{(s+1)(s+3)}{(s+1)(s+2)}\right|_{s_1=-1}=2
\]
终值定理
\[\boxed{\begin{array}{c}\lim\limits_{t\to\infty}y(t)=\lim\limits_{s\to0}sY(s)\\\end{array}}
\]
式 \(Y(s) = \frac{(Ms + b)y_0}{Ms^2 + bs + k} = \frac{p(s)}{q(s)}\) 改写为
\[Y(s) = \frac{(s + b/M)y_0}{s^2 + (b/M)s + k/M} = \frac{(s + 2\zeta\omega_n)y_0}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}
\]
其中, \(\zeta\) 为无量纲的阻尼系数, \(\omega_n\) 为系统的固有(自然)频率。特征方程的根为
\[s_1,s_2=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}
\]
其中，\(\omega_{n}=\sqrt{k/M},\zeta=b/(2\) \(\sqrt{kM})\)。
当\(\zeta>1\) 时，特征方程有两个不同的实根， 系统称为过阻尼系统；
当$\zeta<$1 时，有一对共轭复根，系统称为欠阻尼系统；
当\(\zeta=1\) 时，则有两个相等的负实根，此时的系统称为临界阻尼系统。
当\(\zeta<1\) 时，系统响应是欠阻尼的，特征方程的根为
\[s_{1,2}\:=\:-\zeta\omega_{n}\:\pm\mathrm{j}\omega_{n}\:\sqrt{1\:-\:\zeta^{2}}
\]
线性系统的传递函数
线性系统的传递函数定义为：当两个变量的初值都假定为零时，输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。系统(或元件)的传递函数表征了所研究的系统的动态性能。
传递函数的定义只适合于线性定常( 系数为常数)系统。非定常系统，即时变系统中，至少有一个系统参数随时间变化，因而可能无法运用拉普拉斯变换。此外，传递函数只是系统的输入一输出描述，它并不提供系统内部的结构和行为信息。
(1) 弹簧系统
可以得到质量块-弹簧-阻尼器系统的传递函数。在零初始条件下，
\[Ms^2Y(s)\:+\:bsY(s)\:+\:kY(s)\:=\:R(s)
\]
按照定义，其传递函数为
\[\frac{\text{输出}}{\text{输入}}\:=\:G(s)\:=\:\frac{Y(s)}{R(s)}\:=\:\frac{1}{Ms^{2}\:+\:bs\:+\:k}
\]
(2) RC电路
输入电压的拉普拉斯变换
\[V_1(s) = \Bigg(R + \frac{1}{Cs}\Bigg)I(s)
\]
输出电压的拉普拉斯变换
\[V_2(s)=I(s)\Bigg(\frac{1}{Cs}\Bigg)
\]
求解得出\(I(s)\), 并将其代入中,,可以得到
\[V_2(s) = \frac{(1/Cs)V_1(s)}{R + 1/Cs}
\]
传递函数
\[G(s)=\frac{V_2(s)}{V_1(s)}=\frac{1}{RCs + 1}=\frac{1}{\tau s + 1}=\frac{1/\tau}{s + 1/\tau}
\]
参考文献
1.现代控制系统
浙公网安备 33010602011771号