变分&散度&分布积分12.13

目录

• 1. 位移变分
  • 1.1 分部积分
  • 1.2 另一种形式
  • 1.3 简化形式
• 附录A
  • A.1 分部积分
  • A.2 散度定理
    • 数学表述
    • 物理意义
    • 证明思路
  • A.3 散度积分

1. 位移变分

在结构力学和连续介质力学中，分部积分常用于将微分算子从测试函数（如位移的变分 $ \delta u_i $）转移到被测试函数（如应力 $ \sigma_{ij} $​）上。这样做的目的是为了简化问题，使其更容易应用物理方程和边界条件。

分部积分应用于以下项：

\[\int_V \delta u_i \sigma_{ij,j} dV \]

是应力-应变关系中的一个典型表达式。

这里，\(\delta u_i\) 表示位移变分，\(\sigma_{ij}\) 是应力张量，这里的 $ \sigma_{ij,j} $ 表示应力张量 $ \sigma_{ij} $ 关于空间坐标 $ j $ 的偏导数（即 \(\sigma_{ij,j} = \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}\)）。

1.1 分部积分

根据高斯散度定理（Gauss's divergence theorem），我们可以将体积分转换为面积分。

具体到这个积分，我们有：

\[\int_V \delta u_i \sigma_{ij,j} dV = \oint_{\partial V} \delta u_i \sigma_{ij} n_j dA - \int_V \delta u_{i,j} \sigma_{ij} dV \]

这里：

• \(\oint_{\partial V}\) 表示沿体积 \(V\) 的边界 \(\partial V\) 的封闭面积分。
• \(n_j\) 是边界表面的外法向单位矢量的分量。
• \(\delta u_{i,j} = \frac{\partial (\delta u_i)}{\partial x_j}\) 表示位移变分的梯度。

因此，通过分部积分，原始的体积分被转化为边界上的面积分减去另一个体积分。

在许多物理问题中，尤其是当应用最小势能原理或虚功原理时，这种转化是非常有用的，因为它允许我们将边界条件自然地纳入方程中。

1.2 另一种形式

\[\int_V \delta u_i \sigma_{ij,j} dV = \delta u_i \sigma_{ij} n_j \Big|_{S_2} - \int_V \delta (\sigma_{ij} n_j) dV \]

这里，$ \sigma_{ij} n_j $ 是应力张量在边界 $ S_2 $ 上的法向分量，$ \delta (\sigma_{ij} n_j) $​​ 是这个法向分量的变分。但是，这个表达式还需要进一步处理，因为我们通常希望将微分算子转移到应力张量上，而不是边界条件。

1.3 简化形式

请注意，如果边界条件已知，例如在某些边界上施加了固定约束（\(\delta u_i = 0\)），那么边界项可能会消失，从而简化上述表达式。

为了实现这一点，我们可以使用应力和应变之间的关系，即：

\[\sigma_{ij} = D_{ijkl} \epsilon_{kl} \]

其中 $ D_{ijkl} $ 是弹性模量张量，$ \epsilon_{kl} $ 是应变张量。应变张量与位移的关系为：

\[\epsilon_{kl} = \frac{1}{2} (u_{k,l} + u_{l,k}) \]

将应力张量代入分部积分的结果中，我们得到：

\[\int_V \delta u_i \sigma_{ij,j} dV = \int_V \delta \epsilon_{ij} D_{ijkl} \epsilon_{kl} dV \]

这里，我们使用了应变张量的变分 $ \delta \epsilon_{ij} $ 来代替位移的变分 $ \delta u_i $。这样，我们就将微分算子从位移的变分转移到了应变张量上，这在有限元分析中是非常有用的，因为它允许我们使用应变-位移关系来构建弱形式。

请注意，这个解释是一个简化的概述，实际的分部积分过程可能需要更详细的数学操作和物理背景。如果您需要更深入的数学推导，请提供更多的上下文或具体问题。

附录A

A.1 分部积分

分部积分的公式为：

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du \]

A.2 散度定理

散度定理（也称为高斯散度定理、高斯定理）是矢量分析中的一个重要定理，它建立了空间区域上的矢量场的散度的体积分与该矢量场在区域边界上的通量之间的联系。

以下是关于散度定理的详细介绍：

数学表述

设 \(V\) 是空间中具有分片光滑边界 \(S\) 的有界闭区域，\(\vec{F}(x,y,z)\) 是定义在包含 \(V\) 的某个区域上的连续可微的矢量场，其分量表示为 \(\vec{F}=(F_{x},F_{y},F_{z})\) ，则散度定理可表述为：

\[\int_{V} \nabla \cdot \vec{F} dV=\int_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} dS \]

其中：

• \(\nabla \cdot \vec{F}\) 表示矢量场 \(\vec{F}\) 的散度，在直角坐标系下，\(\nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\)。
• \(\vec{n}\) 是边界 \(S\) 上指向区域 \(V\) 外部的单位法向量，\(\vec{F} \cdot \vec{n}\) 表示矢量场 \(\vec{F}\) 在单位法向量 \(\vec{n}\) 方向上的通量。

物理意义

(1). 通量角度
从物理意义上来说

\[\int_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} dS \]

计算的是矢量场 \(\vec{F}\) , 通过闭曲面 \(S\) 的通量，也就是矢量场的“流量”情况。例如，如果 \(\vec{F}\) 表示某种流体的流速场，那么这个通量就表示单位时间内流体通过曲面 \(S\) 的净流量（流出量减去流入量）。
(2). 散度角度
而 \(\nabla \cdot \vec{F}\) 描述的是矢量场在各点处的“发散”或者“汇聚”的特性。在某点处散度大于零，意味着在该点附近矢量场是“发散”的，好像有“源”在不断产生矢量线；散度小于零，则表示矢量场在该点附近是“汇聚”的，仿佛有“汇”在吸收矢量线；散度等于零，表示矢量场在该点处既不发散也不汇聚，是一种无源无汇的状态。

散度定理表明，在整个区域 \(V\) 内矢量场的这种“发散”或“汇聚”的总体情况（通过对散度做体积分来体现），与矢量场通过区域边界 \(S\) 的通量情况是等效的。

证明思路

可以通过将区域 \(V\) 分割成许多小的长方体微元（在极限情况下趋近于准确描述区域 \(V\) ），然后分别对每个微元分析其边界上的通量情况以及内部的散度情况，再经过求和取极限等操作，最终证明上述等式成立。

在实际应用中，散度定理在电磁学（例如计算电场、磁场的通量和散度相关问题）、流体力学（分析流体的流量等）以及弹性力学（如前面提到的分部积分推导等涉及矢量场的运算情况）等诸多领域有着广泛且重要的应用，它能够帮助简化很多涉及矢量场的积分运算以及对物理现象的分析理解。

A.3 散度积分

积分表达

在三维空间中，对于形如\(\int_{V} u\cdot \nabla v\;dV\)的积分（这里\(u\)和\(v\)​是适当的向量场或者张量场的分量等），利用分部积分公式（基于散度定理）可得：

\[\int_{V} u\cdot \nabla v\;dV=\int_{S} u\cdot (v\vec{n})\;dS - \int_{V} (\nabla u)\cdot v\;dV \]

其中\(S\)是区域\(V\)的边界，\(\vec{n}\)是边界\(S\)上的外法线单位向量。

详细证明

以下是对这个分部积分公式\(\int_{V} u\cdot \nabla v\;dV=\int_{S} u\cdot (v\vec{n})\;dS - \int_{V} (\nabla u)\cdot v\;dV\)的详细推导与解释：

(1). 从散度定理出发

我们先回顾散度定理，它表述为\(\int_{V} \nabla \cdot \vec{F} dV=\int_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} dS\)，这里\(V\)是具有分片光滑边界\(S\)的有界闭区域，\(\vec{F}\)是连续可微的矢量场，\(\vec{n}\)是边界\(S\)上指向区域\(V\)外部的单位法向量。

现在我们构造一个新的矢量场\(\vec{G} = u\vec{v}\)（这里\(u\)是一个标量函数，\(\vec{v}\)是一个矢量场），然后来计算它的散度\(\nabla \cdot \vec{G}\)。

在直角坐标系下，若\(\vec{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})\)，根据矢量场散度的计算公式以及乘积求导法则，可得：

\[\begin{align*} \nabla \cdot \vec{G}&=\frac{\partial (uv_{x})}{\partial x}+\frac{\partial (uv_{y})}{\partial y}+\frac{\partial (uv_{z})}{\partial z}\\ &=u\left(\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right) + v_{x}\frac{\partial u}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial u}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial u}{\partial z}\\ &=u(\nabla \cdot \vec{v}) + (\nabla u)\cdot \vec{v} \end{align*} \]

(2). 应用散度定理到构造的矢量场\(\vec{G}\)
对矢量场\(\vec{G} = u\vec{v}\)应用散度定理\(\int_{V} \nabla \cdot \vec{G} dV=\int_{S} \vec{G} \cdot \vec{n} dS\)，将前面计算得到的\(\nabla \cdot \vec{G}=u(\nabla \cdot \vec{v}) + (\nabla u)\cdot \vec{v}\)代入可得：

\[\begin{align*} \int_{V} [u(\nabla \cdot \vec{v}) + (\nabla u)\cdot \vec{v}]dV&=\int_{S} (u\vec{v}) \cdot \vec{n} dS\\ \end{align*} \]

(3). 整理得到分部积分公式
把上式展开并移项就可以得到我们想要的分部积分公式：

\[\begin{align*} \int_{V} u(\nabla \cdot \vec{v})dV&=\int_{S} (u\vec{v}) \cdot \vec{n} dS - \int_{V} (\nabla u)\cdot \vec{v}dV\\ \end{align*} \]

由于\(\nabla \cdot \vec{v}\)可以写成\(\nabla v\)（这里是一种简便的矢量分析中的记法），所以上述公式就变成了

\[\int_{V} u\cdot \nabla v\;dV=\int_{S} u\cdot (v\vec{n})\;dS - \int_{V} (\nabla u)\cdot v\;dV \]

这个公式在涉及矢量场与标量函数乘积的积分运算中非常有用，例如在弹性力学等诸多物理学科领域里推导一些重要理论关系式、将复杂的体积分转化为面积分与另一个体积分的组合，从而方便后续的计算或者进一步的理论推导等工作。