二分图进阶

提醒：二分图问题最重要的还是对问题建模

二分图最大匹配

注：二分图匹配前需要保证点集已经划分为了左右两部分，若未划分，则要先通过二分图染色法作预处理。

匈牙利算法 (Kuhn)

算法流程

模板

const int N = 105;
vector<int> G[N]; // 求解二分图最大匹配时，只需要建左部点 -> 右部点的单向边
int ans; // 最终得到的最大匹配数
int t, vis[N]; // 这里 vis 是 int 类型，使用轮次 t 标记，以避免每次 memset 清空
int match[N]; // match[v] = u，表示右部点 v 与左部点 u 配对

// 匈牙利算法 O(nm)
bool dfs(int u){ // 返回值表示点 u 是否匹配成功
    for(auto v : G[u]){
        if(vis[v] == t) continue; // 当前轮已经遍历过
        vis[v] = t;
        if(!match[v] || dfs(match[v])){ // 找到增广路，右部点 v 与左部点 u 可以匹配
            match[v] = u; // 当前的未匹配点 v 增加新的匹配，沿途经过的已匹配过的点在回溯过程中更换匹配
            return true;
        }
    }
    return false;
}

调用： 
t = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++, t ++){ // 对所有左部点均需跑一遍
    if(dfs(i)) ans ++;
}

模板理解：二分图内，从左部点 \(\rightarrow\) 右部点的边是非匹配边，通过初始时构建的有向图 \(G\) 表示；而从右部点 \(\rightarrow\) 左部点的边是匹配边，通过数组 \(match\) 映射表示 （\(v \rightarrow match[v]\)）

Hopcroft - Karp

也是求二分图最大匹配的算法，复杂度 \(O(\sqrt n * m)\)，适用于点数较大的情况，了解即可。

Dinic 算法

二分图可以转换成网络流模型：创建虚拟源点与汇点，将源点连上左边所有点，右边所有点连上汇点，容量均为 1；原二分图内左部点 \(\rightarrow\) 右部点的有向边容量也为 1。

此时最大流即最大匹配。

可以解决的问题

二分图最小点覆盖

在一张无向图中选择最少的结点，满足每条边至少有一个端点被选

结论：二分图中，最小点覆盖中的顶点数量等于最大匹配中边的数量。

具体证明与构造方案见 oi-wiki

二分图最大独立集

在一张无向图中选择最多的结点，满足两两之间互不相邻。

结论：在无向图中，最小点覆盖与最大独立集的大小之和等于顶点数量。

因此，当整个图是二分图时，可以通过求出二分图的最大匹配数，进而得到答案。

有向无环图最小路径覆盖

在一张有向图中，选择最少数量的简单路径，使得所有结点都恰好出现在其中某一条路径。

证明见 oi-wiki

例题

P5182

Q：给定 \(n \times n\) 的棋盘，规定 \(t\) 个给定位置不能放骨牌。求最多能往棋盘上放多少块长度为 \(2\)，宽度为 \(1\) 的骨牌。\(n,t \le 100\)

由于同一个格子不能同时被多张骨牌覆盖，将格子看作点，骨牌看作二分图中的匹配边，问题转化为求二分图的最大匹配。

那么二分图中的点应该如何划分成两类呢？每张骨牌覆盖到的两个格子一定相邻，而我们注意到，对于任意两个相邻格子 \((i, j)\)，\(i + j\) 的奇偶性一定不同，于是按照格子 \(i + j\) 的奇偶性，将所有点划分成两类；对于每一对相邻格子，若两个格子均可以放置骨牌，则连边，这样就形成了二分图。接下来匈牙利算法跑二分图最大匹配即可。

复杂度分析：点数 \(O(n^{2})\)，边数 \(O(n^{2})\)，总复杂度 \(O(n^{4})\)。

code

P3355

Q：给定 \(n \times n\) 的棋盘与 \(m\) 个禁止走到的位置，每个空闲位置可以放中国象棋的棋子 “马”，求使得任意两个马不互相攻击，放置 “马” 的最大数量。

显然会想到将两个可互相攻击到的位置作为二分图连边，问题等价于求解二分图的最大独立集大小，但问题在于如何将棋盘的所有空闲位置划分成两类，形成二分图。我们会发现，将棋盘的所有位置黑白交替染色，存在性质：任意两个格子颜色是否相同取决于二者曼哈顿距离的奇偶性。而对于任意两个可互相攻击的格子，曼哈顿距离固定为 \(3\)，因此将棋盘按照黑白交替染色，恰好可以保证图中的任意边连接的两个结点颜色不同，进而保证原图是二分图。

code

CF1404E

与上一题类似：棋盘大小改为 \(n \times m\)（\(n,m \le 200\)），骨牌大小为 \(1 \times x\) 或 \(x \times 1\)（\(x\) 可以为任意正整数），某些给定位置的 \(1 \times 1\) 方格不能被覆盖，求将所有空闲位置全部覆盖，需要的最少骨牌数量。

先将所有空闲位置填充一块 \(1 \times 1\) 骨牌，然后尝试消除尽可能多的交界位置（两侧均为空闲方格的交界处）。

图论建模：将所有可消除的交界位置看作结点，将任意一对在同一个 \(1 \times 1\) 方格内，且共享方格顶点的两个交界处代表结点连边。如下图所示：

显然，我们选取的边界集合必须满足在图中任意两点之间无连边，也就是选取最大独立集。而无向图的最大独立集是一个 NP 问题，但在二分图中可以通过最大匹配间接求得。比较幸运的是，我们刚刚建的图恰好符合二分图性质：只有横向边界与纵向边界之间才有连边，因此可以按照横向与纵向将边界分成两类。于是，建图后跑二分图最大匹配即可。

需要注意的是，总点数与总边数均为 \(O(nm)\)，若使用 Kuhn 算法会超时，因此要使用优化算法（Hopcroft - Karp 或 Dinic），复杂度 \(O(nm \sqrt{nm})\)。

code_Karp
code_Dinic

P2071

Q：已知车上有 \(N\) 排座位，有 \(2N\) 个人参加省赛，每排座位只能坐两人，且每个人都有自己想坐的排数（每个人恰好 \(2\) 排），问最多使多少人坐到自己想坐的位置。

由于每一排可以容纳两个人，将每一排用两个不同编号的结点表示，然后按照需求关系将人与排之间连边，跑二分图最大匹配即可。

code

U455932

Q：给定两台机器 \(A,B\)，其中机器 \(A\) 有 \(N\) 个模式（\(0 \backsim N - 1\)），机器 \(B\) 有 \(M\) 个模式（\(0 \backsim M - 1\)），初始时机器 \(A,B\) 均处于模式 \(0\)；有 \(K\) 个任务，第 \(i\) 个任务必须要么在机器 \(A\) 以模式 \(a_{i}\) 运行，要么在机器 \(B\) 以模式 \(b_{i}\) 运行。可以随意决定所有任务的执行顺序，但是每台机器转换一次模式就需要花费一个代价，求执行完所有任务的最小总代价。

将模式看作点（注意区分不同机器同一编号的模式），任务看作边。显然同一模式需要尽量连续执行，以避免花费代价，问题转化为了求解二分图的最小点覆盖（即选择最少的模式，使得所有任务都能被完成）。特别注意初始时两台机器模式均为 \(0\)，若某个任务在某台机器需要以模式 \(0\) 完成，则可以直接忽略。

code

P6062

code

P1129

Q：给定一个 01 矩阵，每次可以交换任意两行或任意两列，问是否可以通过任意次操作，让主对角线上的值均为 \(1\)。\(n \le 50\)

考虑题述操作，会发现一个重要性质：某一行内的所有元素集合均不会变动（交换两行只是整体位置发生变化，交换两列只是内部顺序发生变化），转化到列上同理。

考虑从最终形态倒推，可以发现条件成立当且仅当 \(n\) 个点在整个二维图内形成错位排列（也就是存在 \(n\) 个点，它们的横坐标构成行的全排列，纵坐标构成列的全排列）。

这也就意味着对于任意一行，都能通过某个 \(1\) 匹配到 唯一的 某一列（可以理解成行编号与列编号一一匹配，构成排列映射）。于是考虑用二分图建模该问题：将所有行编号看作二分图的左部点，所有列编号看作二分图的右部点，图中每个 \(1\) 的坐标 \((x, y)\) 看作左边的 \(x\) 连向右边的 \(y\)。则上述条件成立等价于二分图的最大匹配数为 \(n\)。由于 \(n\) 很小，跑匈牙利算法即可。

复杂度分析：点数 \(O(n)\)，边数 \(O(n^{2})\)，总复杂度 \(O(n^{3})\)。

code

Gym 104427B

Q：\(n\) 名律师，给出 \(m\) 对辩护关系 \((a, b)\)，表示 \(a\) 可以为 \(b\) 辩护。每名律师可以为多名其他律师辩护，但是不能出现某两名律师互相辩护的情况（若 \(a\) 为 \(b\) 辩护，则 \(b\) 不能再为 \(a\) 辩护）。求是否存在一种方案，使得所有律师均可以被辩护至少一次。

图论建模：可以看作无序对 \((a, b)\) 只能被 \(a\) 与 \(b\) 最多一个占用辩护权（被 \(a\) 占用相当于 \(b\) 为 \(a\) 辩护，被 \(b\) 占用相当于 \(a\) 为 \(b\) 辩护），而辩护关系数量是有限的，故我们考虑将每个辩护关系看作结点（左部点），去匹配被辩护律师代表的结点（右部点），每个辩护关系 \((a, b)\) 只可以与 \(a,b\) 两者中的恰好一个匹配，问题便转化为了求二分图最大匹配数是否等于 \(n\)。由于 \(n,m \le 2 \times 10^{5}\)，Dinic 求解即可。

code

CF1139E

Q：给定 \(m\) 个共有 \(n\) 个元素的可重集（总元素数为 \(O(n)\)，分布任意），一共 \(q\) 次操作，每一次从某一个可重集里面删除某个指定元素，然后查询在每一个可重集里选至多一个元素，组成集合可以达到的最大 \(mex\)。\(m \le n \le 5000\)

先不考虑删除操作，思考该怎么做。显然对于每种数，最多只会从一个多重集中取，故我们可以考虑建立多重集与元素之间的匹配关系。

图论建模：将每个可能取出的元素（\(0 \backsim m\)）看作左部点，每个多重集 \((1 \backsim m)\) 看作右部点，将多重集与其内部包含的所有元素之间各连一条有向边。

由于需要最大化 \(mex\)，我们每次贪心匹配左部点内的 \(mex\)，匹配成功则扩大 \(mex\) 继续匹配即可。

现在相当于要维护每次删除一条边后的最大匹配情况。对于二分图，删除某一条边会引起匹配情况的巨变，删边前的匹配将不可复用；而 假设每次操作是加入一条边，则加边之前的匹配仍可复用，只需要接着未匹配的左部点开始继续增广即可。故我们考虑倒序处理操作，问题等价于维护每次加入一条边后维护新的最大匹配。

复杂度分析：点数 \(O(m)\)，边数 \(O(n)\)；每次操作时执行匈牙利算法会成功若干次（\(\ge 0\)）与失败一次，而总成功次数最多为 \(m\)，可知复杂度为 \(O(q * n + m * n)\)（失败 + 成功）。

综上，总复杂度为 \(O(q * n + m * n)\)。

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二分图最大权匹配