ABC 462 G (容斥原理，NTT，多项式的启发式合并)

G - Completely Wrong

Q：给定两个长度为 \(n\) 的序列 \(C, G\)，元素值域为 \([1, n]\)，求满足对于 \(\forall i \in [1, n], C_{p_{i}} \neq G_{i}\) 的长度为 \(n\) 的排列 \(p\) 个数（即错排）。

如果 \(C, G\) 均为 \(1 \backsim n\) 的排列，那么方案数显然为 \(n\) 的错排数。而分析错排问题的一个经典思想便是利用容斥原理：考虑计算存在某个位置满足 \(C_{p_{i}}\) 与 \(G_{i}\) 匹配的方案数 \(cnt\)，那么答案便为 \(n! - cnt\)。

计算 \(cnt\)：我们钦定其中 \(t\) 个位置的 \(G_{i}\) 一定匹配，剩下的 \(n - t\) 个位置的情况任意（可以匹配，也可以不匹配）；当 \(t\) 为奇数时加到总贡献中，为偶数时减。于是 \(cnt\) 可以表示为：

\[\sum_{A\subset \{ 1,2,...,n\} 且 A \neq \phi} (-1)^{|A|-1} \times (钦定集合 A 内的所有位置匹配的方案数) \]

若不按最基本的容斥原理角度（划分子集）考虑，而是按照匹配位置个数考虑，可以表示为：

\[\sum_{t > 0} (-1)^{t-1} * P_{t} * (n - t)! \]

其中 \(P_{t}\) 表示钦定 \(t\) 个位置匹配的总方案数。

考虑如何计算 \(P_{t}\)：将不同颜色组合起来。对于每一种颜色，单独计算它强制命中 \(t\) 个位置时的方案数，然后用乘法原理整合。

容易发现，可以利用卷积来进行对于不同颜色的整合。因此我们将每一种颜色 \(a\)，将颜色 \(a\) 强制命中 \(t\) 个位置的方案数作为多项式中 \(x_{t}\) 的系数。

对于颜色 \(a\)，有多项式：

\[P_{a}(x) = \sum_{t=0}^{\min(cntC_{a}, cntG_{a})} [C_{cntC_{a}}^{t} * C_{cntG_{a}}^{t} * t!] * x^{t} \]

于是按照乘法原理，将所有颜色的多项式作卷积，得到：

\[P(x) = \prod_{颜色a} P_{a}(x) \]

\(P_{t}\) 即为 \(P(x)\) 中 \(x^{t}\) 的系数。

分析复杂度瓶颈：由于最多有 \(n\) 种颜色，因此我们最多需要对 \(n\) 个多项式作卷积（也就是做 \(O(n)\) 次多项式乘法）；而 NTT 优化多项式乘法的复杂度为 \(O(n\log n)\)，故总复杂度看似是 \(O(n^{2}\log n)\)。但是我们需要发现一个重要性质：所有颜色出现的总次数固定为 \(n\)，因此所有多项式的次数总和（即项数）恰好为 \(n\)。 于是，我们考虑用启发式合并思想优化卷积：每次选取当前项数最少的两个多项式作卷积，不断进行该过程直到只剩下一个多项式。这个与若干堆石子的启发式合并是完全等价的，每颗石子参与合并后所在集合大小至少是原来的 \(2\) 倍，故每颗石子最多参与 \(O(\log n)\) 次合并（\(n\) 表示石子总数），总复杂度为 \(O(n \log n)\)。

这里总复杂度会被优化至 \(O(n \log^{2} n)\)。

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