ABC 405 G（利用根号分块优化线段树log）

G - Range Shuffle Query

显然每次询问的东西是可重集排列数，因此只要在面对每次查询时维护好所有值的桶就行；\(<x\) 的所有值的桶的阶乘之积可以利用线段树查询维护。于是一个显然的做法：莫队离线处理所有查询，线段树维护每个子区间内值的桶的阶乘之积，每次修改一个元素需要在线段树上修改，总复杂度 \(O(n\sqrt n \log n)\)。然而本题 \(n, q\) 最高可达 \(2.5 \times 10^{5}\)，无法通过。

问题在于每次修改时不能暴力地在线段树上做，需要使用其他维护前缀积的方式省去这个 \(\log\)。这里利用了分块，具体地，将所有值按 \(1\backsim n\) 分块，每一块维护对于当前查询区间，所有值的桶的阶乘之积。

分析复杂度（为了表述方便，默认 \(n,q\) 在同一量级）：

• 修改：增加 / 删除某个元素时，只需要修改该元素值所在块的信息，每次修改是 \(O(1)\) 的，故修改的总复杂度为 \(O(n\sqrt n)\)。（关键优化，省去线段树 \(\log\)）
• 查询：对于任意查询区间，完整的块的数量只有 \(O(\sqrt n)\) ，需要暴力查询非完整块内元素的数量也是 \(O(\sqrt n)\) ，故查询的总复杂度为 \(O(n \sqrt n)\)。（对于线段树维护的方式，查询复杂度是 \(O(n\log n)\)，虽然查询变差了，但是优化了修改这一瓶颈）

综上所述，总复杂度为 \(O(n\sqrt n)\)。

code_segtree_\(O(n\sqrt n \log n)\)

code_sqrtblock_\(O(n\sqrt n)\)