二分求解LIS

用暴力或树状数组求解 LIS 长度的方法都很直观易懂，而还有一种利用二分求解 LIS 的算法，经典但抽象，这里作记录以备忘。

暴力 / 树状数组求 LIS 的本质思想都是固定末尾元素位置，最大化链的长度；而二分求解的思路却相反——它的本质思想是固定链的长度，最小化末尾元素的值。

显然对于末尾元素更小的序列，更有利于 LIS 长度的扩展。

状态定义

\(dp_{i}\)：考虑长度为 \(i\) 的链（严格上升子序列），末尾元素的最小值。

状态转移

一个比较关键的发现：\(dp\) 数组是严格单调递增的。因此我们可以在 \(dp\) 数组上二分以加速递推。

我们仍然按照原序列顺序依次遍历每个 \(a_{i}\)，考虑 \(a_{i}\) 可以更新哪些 \(dp_{x}\)。由于 \(a_{i}\) 是当前序列中最靠后的元素，因此对于当前任何前 \(i-1\) 个元素构成的子序列，后面都可以接上 \(a_{i}\)。于是，对于前面的所有严格上升子序列，只要末尾元素 \(< a_{i}\)，就一定可以将 \(a_{i}\) 接到其后面以实现 LIS 长度的扩展。我们先二分找到当前 \(dp\) 数组中第一个 \(\ge a_{i}\) 的位置 \(j\)（\(dp_{j} \ge a_{i}\)） ，对于 \(dp\) 数组的更新，我们分几种情况讨论：

• 未找到 \(dp_{k} \ge a_{i}\)：即所有 \(dp_{k} < a_{i}\)，说明对于当前所有的上升子序列，都可以往后添加 \(a_{i}\)。此时 LIS 的长度会因为 \(a_{i}\) 的添加而增加 \(1\)，故：\(dp_{len(LIS)+1} \leftarrow a_{i}\)。

否则说明 \(\exists k\)，使得 \(dp_{k} \ge a_{i}\)，二分可查找到结果。

• 对于 \(\forall k < j\) 的 \(dp_{k}\)：\(dp_{k} < a_{i}\) 均成立，显然 \(a_{i}\) 在序列中的出现不会影响它们的值，因此无需作任何修改。
• 对于 \(\forall k = j\) 的 \(dp_{k}\)：对于长度恰好为 \(j\) 的严格上升子序列，此时第 \(j-1\) 个元素一定 \(< a_{i}\)（否则就不是二分到这个位置了）；而 \(dp_{k} \ge a_{i}\)，将 \(dp_{k}\) 替换为 \(a_{i}\) 一定不劣，故 \(dp_{k} \leftarrow a_{i}\)。
• 对于 \(\forall k > j\) 的 \(dp_{k}\)：由于这些上升子序列的第 \(k-1\) 个元素值一定 \(\ge a_{i}\)，无法用 \(a_{i}\) 替换这些上升子序列的末尾元素，因此无需作任何修改。

综上，我们会发现，二分查找到相应位置后，我们最多只会添加 / 修改 \(1\) 个值，故总复杂度为 \(O(n\log n)\)。

code:

# 找 a[1~n] 的最长严格上升子序列
n = 6
a = [1, 3, 2, 4, 4, 5]
dp = []
for i in range(n):
    if len(dp) == 0 or dp[-1] < a[i]: 
        dp.append(a[i])
    else:
        pos = bisect.bisect_left(dp, a[i])
        dp[pos] = a[i]
print(len(dp)) # 4

若求解的是最长不下降子序列，只需要略做修改：

# 找 a[1~n] 的最长非严格上升子序列
n = 6
a = [1, 3, 2, 4, 4, 5]
dp = []
for i in range(n):
    if len(dp) == 0 or dp[-1] <= a[i]: #upd1 
        dp.append(a[i])
    else:
        pos = bisect.bisect_right(dp, a[i]) #upd2
        dp[pos] = a[i]
print(len(dp)) # 5