cf div2 1093 E（巧妙排序贪心）

C. Coloring a Red Black Tree

Q：给定一棵树，每个结点要么是红色，要么是黑色。每次操作可以选择任意一个结点，将该结点的颜色随机染成它的所有邻居结点的某种颜色，目标是让所有结点均染成红色，求最小操作次数的期望。

显然每次操作只会选择黑色结点，并且对于不同的黑色连通块，它们的操作是相互独立的，不会因操作次序的不同而彼此产生影响，故我们只需要对某个单独的黑色连通块考虑操作次数的期望，最后累加求和即可。

对于某个结点 \(u\)，其邻居结点的数量为 \(deg_{u}\)，并设其邻居结点中红色结点的数量为 \(cnt_{u}\)。那么一次操作将该结点染成红色的概率即为 \(\frac{cnt_{u}}{deg_{u}}\)；根据期望的定义，将该节点染成红色的期望操作次数为：\(\frac{deg_{u}}{cnt_{u}}\)（期望染色次数 = 实际染色次数 \(\times\) 染红色概率）。

对于某个黑色连通块，一定存在某个最优的染色操作顺序，使得期望总操作次数最小。考虑如何找到这个最优的操作顺序。

若直接按照当前每个结点染色操作数的期望从小到大贪心，显然是没有太多道理的。我们不妨从局部贪心的角度出发，考虑每两个操作顺序相邻（即先操作一个，紧接着操作另一个）的黑色结点，比较它们交换染色顺序前后的期望操作次数有什么样的改变。分两种情况考虑：

1. 两个结点不互为邻结点：显然先操作哪个结点对另一个结点的操作期望数是没有影响的。
2. 两个结点互为邻结点：设为 \(u, v\)。则先操作 \(u\)，会导致操作 \(v\) 时邻结点中红色结点数量多 \(1\)。具体地，先 \(u\) 后 \(v\) 的期望总操作次数为：

\[\frac{deg_{u}}{cnt_{u}} + \frac{deg_{v}}{cnt_{v}+1} \]

同理，先 \(v\) 后 \(u\) 的期望总操作次数为：

\[\frac{deg_{v}}{cnt_{v}} + \frac{deg_{u}}{cnt_{u}+1} \]

显然，对于两种操作顺序，贪心地选择期望总操作次数较小的会更优。假设先 \(u\) 后 \(v\) 更优，则有：

\[\frac{deg_{u}}{cnt_{u}} + \frac{deg_{v}}{cnt_{v}+1} \le \frac{deg_{v}}{cnt_{v}} + \frac{deg_{u}}{cnt_{u}+1} \]

化简得到：

\[\frac{deg_{u}}{cnt_{u}(cnt_{u}+1)} \le \frac{deg_{v}}{cnt_{v}(cnt_{v}+1)} \]

因此我们有结论：对于同一黑色连通块内的所有黑色结点，按照 \(\frac{deg_{i}}{cnt_{i}(cnt_{i}+1)}\) 大小升序依次操作所有结点是最优的（注意在操作过程中 \(cnt\) 会变，需要动态维护最小值而不是直接按照预先排序的顺序去操作）。用 set 维护上述贪心即可。

实际上，我们不需要对每个黑色连通块分别单独做一次贪心，可以把它们整合到一起来做，因为对于属于不同黑色连通块的两个黑色结点，二者一定是不相邻的。因此把所有连通块的 set 整合放到一个 set 中，与分别去做是等价的。

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