ABC 452 G

G - 221 Substring

题目本质上是求满足某一限制的本质不同子串数量，可以考虑使用后缀数组、后缀自动机。

将原串改造成若干二元组 \((num_{i}, cnt_{i})\) 构成的序列，其中 \((num_{i}, cnt_{i})\) 表示连续 \(cnt_{i}\) 个数字 \(num_{i}\)。

分类讨论：

• \(num_{i} = cnt_{i}\)：可以被随意选取
• \(num_{i} < cnt_{i}\)：只能选取长度恰为 \(cnt_{i}\) 的前缀或后缀
• \(num_{i} > cnt_{i}\)：无论如何都不能选取

做法1：后缀数组

考虑按照上面的 3 种情况，改造原串：

• \(num_{i} = cnt_{i}\)：\((num_{i})\)
• \(num_{i} < cnt_{i}\)：\((num_{i}, 0, num_{i})\)
• \(num_{i} > cnt_{i}\)：\((0)\)

对于改造后的字符串，问题便等价于求不包含 0 的本质不同子串数量。

若没有不包含 0 的限制，便是经典结论：任意一个字符串，本质不同子串个数为 所有子串个数 $ - \sum_{i=1}^{n} height_{i}$。

将这个结论稍微改写一下：设排名为 \(i\) 的后缀的长度为 \(len_{i}\)，则答案为：

\[\sum_{i=1}^{n} (len_{i} - height_{i}) \]

我们要求统计的子串中不包含 0，那也就意味着对于任何一个后缀，必须在从左往右第一个 0 的位置处截断计数。设 \(len'_{i}\)：排名为 \(i\) 的后缀中，不包含 0 的最长前缀长度。

分两种情况讨论：

• \(len'_{i} > height_{i}\)：净贡献为 \(len'_{i} - height_{i}\)；
• \(len'_{i} \le height_{i}\)：净贡献为 \(0\)

因此不包含 0 的本质不同子串数量最终可以用以下式子表示：

\[\sum_{i=1}^{n} \max(0, len'_{i} - height_{i}) \]

\(len'_{i}\) 可以通过倒序遍历字符串 \(O(n)\) 预处理出来。

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做法2：后缀自动机

等学了 SAM 后再补。

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