cf div2 1091 D (01串的区间翻转与差分)

D. Flip the Bit (Hard Version)

Q：给定一个 01 串，并给定若干位置作为 01 串的多个 pivot（分界点），其中每个 pivot 位置上的数字均相同（0 或 1，设为 x）。每次操作可以选择 01 串的某个子区间 \([l, r]\)，要求：

• 该区间必须至少包含一个 pivot
• 将该区间内的所有字符翻转（01 互换）

求将该 01 串变成全 x 的最少操作数。

对于 01 串的区间翻转操作，有一个比较经典的 trick：考虑所有位置的异或差分（\(b_{i} = s_{i} \oplus s_{i+1}\)），一次区间翻转操作只会改变某两个 \(b_{i}\)。 具体地，对区间 \([l, r]\) 进行翻转，只会改变 \(b_{l-1}\) 与 \(b_{r}\)。这很显然，不证明了。

对于本题，目标是让所有字符变成 x。我们不妨在 01 串的首尾均添加一个 x（$s_{0} = s_{n+1} = $ x），然后考虑改造后的 01 串的异或差分，那么目标就等价于让每一项异或差分均为 0。如果没有 “操作区间必须包含至少一个 pivot” 这条限制，那么显然每次操作可以贪心地匹配两个 \(b_{i} = 1\)，让它们均变为 0，这样是最优的。而添加了这条限制后，相当于将所有的 \(b_{i}\) 划分成了多个部分，每次只能选择两个不同部分的 \(b_{i}\) 并对它们作翻转，那么此时的贪心策略也非常经典：给定若干堆不同数量的石子，每次可以分别拿取两个不同堆中的一颗石子，也可以只拿取某一堆的一颗石子，求将石子全部拿完的最小操作数。容易发现两个问题是完全等价的，答案即为：

\[\max(\lceil \frac{总石子数量}{2} \rceil，最大堆石子数量) \]

特殊地，对于本题，由于 $s_{0} = s_{n+1} = $ x，连续 0 与连续 1 组成的段的数量一定是奇数，因此 \(b_{i}=1\) 的数量一定是偶数，所有区间翻转操作后不会剩下单个 \(b_{i}=1\) 的情况。

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