cf div1 706 D (判断两点间最短路径是否唯一、最短路径树方案数)

D. BFS Trees

训练赛遇到的压轴题，个人认为能从这道题里学到东西。

首先我们需要知道：对于一棵 可以同时将两个不同的点作为根 的最短路树（设这两个点为 \(u,v\)），当且仅当 \(u,v\) 之间的最短路只有唯一一条。

否则，若存在多条不同的最短路，由于最短路树的性质，这些最短路都必须存在于最短路树中。那么 \(u,v\) 的任意两条最短路径就会在最短路树上形成环，导致无法形成生成树。

那么，如何判断 \(u,v\) 之间的最短路径是唯一的？

• 对于无权图，设 \(dist_{u,v}\) 为 \(u,v\) 之间的最短路，那么充要条件为：满足 \(dist_{u,k} + dist_{k,v} = dist_{u,v}\) 的 \(k\) 的数量恰好为 \(dist_{u,v} + 1\)
• 对于有权图，也是类似：满足 \(dist_{u,k} + dist_{k,v} = dist_{u,v}\) 的 \(k\) 的数量恰好为最短路径上的点数，对于最短路径上的点数这个信息可以按照无权图的方式额外维护。

考虑分别计算每个 \(f(i, j)\)。由上述，存在同时以 \(i,j\) 为根的最短路树的充要条件为：\(i, j\) 之间的最短路径唯一。判断合法后，考虑进一步将其他不在该最短路径上的点加入到生成树中，计算方案数。

对于计算最短路径树的方案数：可以分别计算每个点的合法父亲方案数，然后作乘法原理，即为总方案数。

对于点 \(u\)，点 \(v\) 可以在最短路径树中作为 \(u\) 的父亲的条件：

\[dist_{root,v} + w(v, u) = dist_{root,u} \]

而最短路径树中同时有两个根时，只需要对于这两个根同时满足条件就可以了。

于是，我们只需要对于每个点 \(u\)，枚举它的所有邻结点，检验其是否可以作为 \(u\) 在最短路径树中的父亲就可以了。但是需要注意，对于已经在最短路径上的点不需要重复统计，因为它们的父亲已经钦定好了。

复杂度 \(O(n^{2}(n+m))\)

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