cf div2 1087 E（KMP好题）

E. A Trivial String Problem

一个字符串 \(s\) 的 border：既不空也不是该字符串本身，且同时为 \(s\) 的前缀与后缀。

对于 KMP，求解出的 \(next_{i}\) 是 \(s_{1\backsim i}\) 的最长 border 长度，可以 \(O(n)\) 线性得到。那么如何线性求出 \(s\) 的最短 border 长度呢（设为 \(b_{i}\)）？事实上，\(b_{i}\) 可以利用 \(next_{i}\) 得到。

结论：

证明：

1. 不存在最长 border，自然也不存在最短 border。（1）证毕。
2. 对于整个字符串的最短 border，一定完全包含在最长 border 内。因此计算 \(b_{i}\) 等价于计算 \(b_{next_{i}}\)。
3. 若 \(s_{next_{i}}\) 不存在 border，即 \(next_{next_{i}} = 0\)，则 \(s_{i}\) 的最长 border 与最短 border 相等，\(b_{i} = next_{i}\)；否则 \(s_{next_{i}}\) 存在 border，那么 \(s_{i}\) 的最短 border 与 \(s_{next_{i}}\) 的最短 border 相等，\(b_{i} = b_{next_{i}}\)。（2、3 证毕）

对于本题，需要利用字符串的最短 border。

结论：在整个字符串的最优划分中，每一部分子串一定不存在 border。这很好证明，若某一部分存在 border，则显然该部分还能继续划分，使得划分个数更多，答案更优。

考虑该字符串划分中的最后一部分，显然它要么是字符串本身（即只有一个部分），要么是该字符串的最短 border（否则还能继续划分；由划分规则可知每个部分必须是原串的 border）。故我们会发现对于任何字符串，其最优划分的最后一部分是固定且唯一的。

那么剩下的部分就是一个子问题，可以按照上述思路递归展开。

因此对于一个字符串的最优划分，一定是不断地从后缀中取出最短 border，直到剩余部分不存在 border。显然直接利用 \(b_{i}\) 递推即可。

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