ABC 450 FG

F - Strongly Connected 2

题目本质其实就是：给定若干区间 \([l, r]\)，\(1\le l \le r \le n\)；求 选取这些区间的某一子集，使得子集内区间并集覆盖 \([1, n]\) 的方案数。

可以说是一道典题了。

先将所有区间按照右端点升序排序，然后考虑依次枚举这些区间并作 \(dp\) 转移。

定义 \(dp_{i}\)：考虑当前所有区间，第一个未被覆盖到的位置为 \(i\)，方案数。

显然 \(ans = dp_{n}\)

初始化 \(dp_{1} = 1\)

状态转移：决策当前区间 \([l, r]\) 是否选取，对每个 \(dp_{i}\) 的影响：

• 若 \(i \in [1, l - 1]\)，显然是否选取该区间对 \(dp_{i}\) 是没有影响的，因此：

\[\forall i\in [1,l-1]，dp_{i} \leftarrow dp_{i} * 2 \]

• 否则，第一个未被覆盖到的位置范围应是 \([l, r + 1]\)（！！注意不要落下 \(r + 1\)，因为前面也可能考虑过了一些右端点也为 \(r\) 的区间，此时 \(dp_{r + 1}\) 是有值的），此时：
  1. 如果选择 \([l, r]\)，新的第一个未被覆盖到的位置一定是 \(r + 1\)，因此：

\[dp_{r+1} \leftarrow \sum_{i=l}^{r+1} dp_{i} \]

2. 如果不选 \([l, r]\)，那么新的第一个未被覆盖到的位置仍与原来相同，不需要任何转移。

优化转移需要使用同时维护区间加与区间乘的线段树。具体实现见代码。

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G - Random Subtraction

一道关于期望计算的好题。

写一下关键地方的处理：

对于 \(E(XY)\)，当 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立时，有 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)。在本题里显然 \(c_{i}\) 与 \(a_{i}\) 是互不影响的（每个数取什么符号与该数的取值无关），因此有：

\[E(\sum_{i \neq j}c_{i}c_{j}a_{i}a_{j}) = \sum_{i \neq j} E(c_{i}c_{j}a_{i}a_{j}) = \sum_{i \neq j} E(c_{i}c_{j}) * \sum_{i \neq j} E(a_{i}a_{j}) \]

后者的期望为定值，这样我们就不需要考虑每个数的取值，只需以每个数取得的正负性计算 \(\sum_{i \neq j} E(c_{i}c_{j})\)。

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